応用数学(微分方程式、フーリエ、複素解析、グラフ理論)の記事まとめ

微分方程式、フーリエ解析、複素解析、グラフ理論などの応用数学についての記事をまとめて紹介します。

微積分学線形代数学を学部1年で学んだ上で、これらの内容の一部分を学部2-3年で学ぶことが多いでしょう。どの分野を重点的に学ぶかは、専攻分野次第です。

 

常微分方程式

常微分方程式(ordinary differential equation,ODE)は、1つの変数に関する微分を含んだ関数に関する方程式です。物理、化学、生物学、経済学をはじめとして、常微分方程式を使った数理モデルは広く利用されています。特に1階、2階の線形方程式の解き方が基本的です。

物理ではべき級数解法を、工学ではラプラス変換を学ぶことが多いでしょう。

 

数理モデル

なぜ中学数学で関数を学ぶか:数理モデルの考え方

なぜ中学・高校数学を学ぶのか 数理モデルとしての微分方程式

人類は必ず食糧問題に直面する? マルサスの法則と微分方程式

ニュートンの冷却法則とは:意味と解き方

空気抵抗があるときの落下運動、終端速度とは:運動方程式を解く

水の流出現象、トリチェリの法則とは:微分方程式を解く

サイン、コサインは何の役に立つ? バネの振動と三角関数

おもりバネの運動:単振動の運動方程式、微分方程式の解き方

おもりバネダンパ系:減衰振動の運動方程式、微分方程式の解き方

RL直列回路の微分方程式の立て方、電流の求め方、過渡現象

RLC直列回路の微分方程式の立て方、電流の求め方、減衰振動

梁の変形:たわみ曲線・弾性曲線を微分方程式を解いて求める

食う-食われるの数学:捕食者-被食者モデル(ロトカ・ヴォルテラ方程式)とは?

漸化式と微分方程式は似ている:簡単な例で解説

 

線形微分方程式

不定積分と定積分をなぜ学ぶか 微分方程式の一般解と特殊解

対数logの外し方、外せる条件と対数関数の性質

微分方程式の解でなぜ指数関数(exp・ネイピア数)が現れるか

常微分方程式の変数分離形とは:証明と注意点(特異解)

1階線形微分方程式の解き方と証明:積分因子、定数変化法

ロジスティック方程式の解き方:ベルヌーイの微分方程式

同次形の2階線形微分方程式の解き方、学ぶ意味:熱方程式への応用を例に

線形微分方程式はなぜ指数関数e^{λt}と仮定して解いて良いか

ロンスキアンによる線形独立性の判定、証明

オイラー・コーシーの微分方程式の解き方、例

非同次の2階線形微分方程式の解き方、未定係数法:強制振動を例に

線形常微分方程式を行列で解く:行列の指数関数を解説

完備性とは:無理数、微分方程式の解の近似を例に

微分方程式の解の存在と一意性が成り立たない例

 

べき級数解法、特殊関数、ストゥルム・リウビル型

ストゥルム・リウビル型微分方程式の発見:熱方程式から

関数の重み付き内積とは:内積の定義を満たすことの証明

ストゥルム・リウビル型微分方程式における固有関数の直交性の証明

直交多項式とは:ルジャンドル多項式、微分方程式を例に

微分方程式のべき級数解法とは:指数関数、三角関数を例に

ルジャンドルの微分方程式、多項式とは:べき級数法による求め方

フロベニウスの方法とは:ベッセル方程式、第一種ベッセル関数を例に

第一種ベッセル関数のガンマ関数による表示式

フロベニウスの方法:次数0の第二種ベッセル関数の求め方

 

ラプラス変換

ラプラス変換とは:定義と微分方程式への応用

微分(導関数)のラプラス変換の求め方、証明

単位ステップ関数とは、ラプラス変換と微分方程式への応用

ラプラス変換の第一シフト定理(s推移法則)とは、証明、応用例

デルタ関数、超関数とは:ラプラス変換、微分方程式への応用

畳み込み(合成積)とは:ラプラス変換の性質と導出

ヴォルテラの積分方程式とは、ラプラス変換による解き方

ラプラス変換の微分とは:証明と応用

ラゲールの方程式、多項式とは:ラプラス変換による解法

おもり2つのバネの運動方程式(連成振動):ラプラス変換による解き方

 

力学系理論、定性的理論

惑星の運動は数学的に「解けない」? 多体問題から力学系理論へ

方程式を解かずに、解の軌跡・安定性を調べてみよう 力学系理論入門

線形微分方程式の解の安定性は「固有値」を調べればわかる

微分方程式の安定性を調べる「線形化」の方法とは?

安定性を判別するリヤプノフ関数の方法とは?

1次元の線形力学系とは:相図の書き方、安定性

2次元線形力学系の平衡解の分類:ノード(結節点)とは

2次元線形力学系の平衡解の分類:サドル(鞍点)とは

2次元線形力学系の平衡解の分類:スパイラル(渦状点)とは

減衰振り子の力学系:平衡解の安定性を線形化して調べる

ロトカ・ヴォルテラ方程式の平衡解の安定性、解曲線の求め方

高階常微分方程式の連立形への書き換えについて

非線形バネの方程式とは:平衡解の安定性を調べる

ファンデルポール方程式、リミットサイクルとは

極限集合の性質を明らかにするポアンカレ・ベンディクソンの定理

不変集合、安定・不安定・中心多様体とは何か?

力学系の分岐理論、分岐図を簡単な例で解説

力学系の構造安定性について簡単に紹介

カオス理論、バタフライ・エフェクトとは何か? ローレンツ・アトラクターを例に

カオス現象のわかりやすい具体例を視覚的に見る

 

フーリエ解析・偏微分方程式

常微分方程式は1次元的な問題を扱いますが、2次元や3次元的な問題を扱うと、偏微分を含んだ関数に関する方程式、偏微分方程式(partial differential equation, PDE)になります。偏微分方程式の中では、熱伝導方程式、波動方程式、ラプラス方程式が基本的です。

フーリエ解析(Fourier analysis)は、与えられた関数を三角関数の和:フーリエ級数として近似することについての分野です。もともとは熱方程式の解を求める中で生まれた手法ですが、電気や通信の分野などでも応用されています。

 

数理モデル

なぜ偏微分を学ぶ? フーリエの熱伝導方程式を例に

なぜ重積分を学ぶ? 熱伝導方程式の導出を例に

花粉の広がりを数式で予測する、拡散方程式とは

波の重ね合わせの原理はなぜ成り立つ? 波動方程式入門

1次元の波動方程式(弦の振動)の導出:運動方程式から

偏微分方程式とは:2階線形の重要な例(ラプラス、熱、波動)

2階偏微分方程式の分類:楕円型、放物型、双曲型とは

生き物の模様は数式で決まる? チューリング・パターンとは

 

フーリエ級数

線形代数の応用:関数の「空間・基底・内積」を使ったフーリエ級数展開

三角関数の直交性とは:フーリエ級数展開と関数空間の内積

フーリエ係数に関するオイラーの公式の導出

フーリエサイン・コサイン級数とディリクレ・ノイマン境界条件の関係

偶関数・奇関数のフーリエ級数、係数の求め方、証明

矩形波とは:フーリエ級数展開の求め方、ギブス現象、ライプニッツの級数

のこぎり波とは:フーリエ級数展開の求め方

三角波とは:フーリエ級数展開の求め方

絶対サイン波|sin x|とは:フーリエ級数展開の求め方

フーリエ級数の収束条件:L^2収束、一様収束、不連続点での値

フーリエ係数の最良性とは:証明、ベッセルの不等式、パーセバルの等式

フーリエ係数の減衰:リーマン・ルベーグの補題とは、証明

一般フーリエ級数とは:フーリエ・ルジャンドル級数、フーリエ・ベッセル級数を例に

 

偏微分方程式の解き方

移流方程式(輸送方程式)とその解き方を解説

1次元の非同次の移流方程式の解き方:特性曲線法

偏微分方程式が変数分離法によって解けるのはなぜか

熱方程式の解き方:変数分離法、フーリエ級数展開(1次元、有界領域)

関数項級数の一様収束、Mテストとは:熱方程式への応用

熱方程式の解き方:フーリエ変換(全空間、N次元)

移流拡散方程式、その解き方:熱方程式への関数変換

合成関数の偏微分、チェインルールとは:波動方程式を例に

1次元波動方程式の解き方:変数分離法、フーリエ級数展開

1次元波動方程式の解:ダランベールの公式の証明、導出

1次元のラプラス方程式の解き方

1次元のポアソン方程式の解き方:定数変化法

1次元ラプラシアンの固有値問題の解き方、固有関数とは

2次元長方形領域でのラプラス方程式の解き方

チェインルール:2次元極座標でのラプラシアンを例に

円環領域におけるポテンシャル:2次元ラプラス方程式の解き方

ラプラシアンが回転不変であること:2次元での証明

なぜルベーグ積分を学ぶのか 偏微分方程式への応用の観点から

 

複素解析

複素解析(complex analysis)は、複素変数の関数の微積分などに関する分野です。日本では関数論と呼ばれることも。

オイラーの公式によって、三角関数の情報を指数関数として簡単にまとめることができます。これはフーリエ解析、回路や通信の分野で応用されるものです。複素積分や留数の理論は、難しい実積分の計算を可能にし、ラプラス変換とも関係します。

調和関数、等角写像の理論、ポテンシャル論は、実平面のポテンシャルの問題を複素平面の問題に持ち込み、流体力学など流れの分析に役立ちます。

 

複素関数、級数、微分

複素数の積=回転行列の積:対応関係を解説

複素数で普通の順序・不等号・大小関係を考えないのはなぜか

複素べき級数、収束半径とは:指数・三角関数を例に

べき級数の収束発散が円盤によって分かれること:収束半径の性質

オイラーの公式、極形式、ド・モアブルの定理とは:複素指数関数、三角関数の性質

複素関数の主値、多価関数・一価関数とは:平方根、ルートを例に

複素対数関数の主値Log zとは、計算例

複素数の複素数乗、べき乗・指数関数の主値とは何か、計算例

複素微分、正則関数・解析関数とは:具体例をもとに

 

複素積分、留数

複素関数の線積分とは:具体例をもとに

コーシーの積分定理とは:積分路の変形、証明

ガウス関数のフーリエ変換の計算法:コーシーの積分定理

コーシーの積分公式とは、計算例と応用(無限回微分可能、コーシーの不等式)

複素解析におけるリウビルの定理とは:例と証明

代数学の基本定理とは:リウビルの定理による証明

複素関数のテイラー展開(べき級数展開)とは、証明

ローラン展開とは:求め方、孤立特異点の分類(極、除去可能特異点、真性特異点)

留数、留数定理とは:定義と証明、計算例

極における留数の公式、計算例、位数の求め方

三角関数の有理関数の積分:留数定理による計算

 

調和関数、等角写像、ポテンシャル論

共役調和関数とは:定義と例

複素ポテンシャルとは:円環領域を例に

等角写像とは、性質:z^2を例に

単位円盤を単位円盤に写す線形分数変換とは、例

中心のずれた円環領域におけるポテンシャルの求め方:線形分数変換の応用

流体の複素ポテンシャル、速度ポテンシャル、流れ関数、流線とは

複素解析における最大値の原理とは:例、注意点

複素解析におけるポアソンの積分公式とは、ポアソン核との関連

複素解析・調和関数に関する平均値の性質とは、例と証明

 

グラフ理論

グラフ理論(graph theory)におけるグラフは、鉄道の路線図や、電気の回路、コンピュータのネットワークを表し、分析するために使われます。いわゆる「関数のグラフ」とは別物です。

一筆書きの問題、オイラーの多面体定理、四色問題、巡回セールスマン問題などが有名ですね。

微分方程式を使ったモデルは連続的ですが、これに対してグラフを使ったモデルは離散的です。離散的な対象を扱う数学は、離散数学(discrete mathematics)とも呼ばれています。

なぜ線形代数を学ぶ? Googleのページランクに使われている固有値・固有ベクトルの考え方

グラフ理論入門:グラフとは、グラフの同型

グラフ理論における次数、握手の補題とは

グラフ理論における経路、連結性とは?

一筆書きができる条件、オイラーグラフとは

グラフ理論における木とは、判定法、オイラーの公式

平面グラフ、面とは何か、クラトフスキーの定理

グラフ理論におけるオイラーの公式とは、証明、多面体定理

地図の塗り分け、グラフの彩色問題、四色定理とは何か

グラフ理論における2部グラフ、マッチング、結婚定理とは

グラフ理論における全域木とは? その求め方

重み付きグラフ、最小全域木の問題とは? クラスカル法による解き方

 

数理最適化、線形計画法

執筆中。

線形代数の応用:線形計画法~輸送コストの最小化を例に

 

数値解析、数値線形代数

執筆中。

オイラー法:常微分方程式をPythonで解く原理を解説

ルンゲ=クッタ法:常微分方程式をPythonで解く原理を解説

 

確率、統計、データ分析

執筆中。

確率の定義「場合の数」とは何か:結果の個数である

高校数学から始める公理的確率論:標本空間、事象、確率とは

Pythonで統計量関数(平均、中央値、分散、相関係数)を作り、可視化しよう

統計的推測の基礎:大数の法則をわかりやすく解説

確率・統計における用語「分布」について整理する

 

教科書

 

Advanced Engineering Mathematics
Kreyszig, Erwin(著)
John Wiley & Sons Inc (2011-05-03T00:00:01Z)
5つ星のうち4.5
¥7,964