1次元波動方程式の解:ダランベールの公式の証明、導出

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、1次元波動方程式の解、ダランベールの公式を証明、導出を紹介します。

 

ダランベールの公式とは

考えるのは1次元の波動方程式

\[\frac{\partial^2 u }{\partial t^2}= c^2 \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}\]

の初期値問題

\[u(x,0)=g,u_t (x,0)=h\]

です。\(x \)の範囲は実数全体\(\mathbb{R}\)です。この問題の解は

\[u(x,t)= \frac{1}{2} \{ g(x+ct) +g(x-ct)\} \\+\frac{1}{2c} \int _{x-ct} ^{x+ct} h(y)dy\]

と表せます。これがダランベールの公式(d´Alembert’s formula)です。

これは初期値関数が、時間とともに空間両側へ2つの進行波として分かれていくようすを表します。

次の図は、\(u(x,0)=e^{-x^2},u_t (x,0)=0\)のときの解のようすです。

参考:波の重ね合わせの原理はなぜ成り立つ? 波動方程式入門

 

ダランベールの公式の証明

では、証明していきましょう。方針としては、波動方程式をより単純な方程式に帰着させ、それによって解を得ます。

 

まず方程式を偏微分について整理すると、

\[(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t}-c\frac{\partial}{\partial x})u=0\]

と積の形に分解できます。そこで、

\[v(x,t):= (\frac{\partial}{\partial t}-c\frac{\partial}{\partial x})u\]

と置くと、方程式は

\[\frac{\partial v}{\partial t}+c\frac{\partial v}{\partial x}=0\]

となります。これは1次元の移流方程式(輸送方程式)です。

その解は、\(a(x):=v(x,0)\)と置くとき、

\[v(x,t)=a(x-ct)\]

と表せます。

 

この結果と\(v\)の定義式を合わせると、

\[ \frac{\partial u}{\partial t}-c\frac{\partial u}{\partial x}=a(x-ct)\]

となります。これは非同次の移流方程式です。その解は、

\[u(x,t)=g(x+ct)+\int_0^t a(x-ct-c(s-t))ds\]

と表せることが知られています。

これをダランベールの公式に近づけていきましょう。まず積分の項を整理し、\(x-cs=y\)と置くと、積分範囲は\(x\)から\(x-ct\)、\(\frac{ds}{dy}=- \frac{1}{c}\)なので、

\[\begin{eqnarray} u&=&g(x+ct)+ \int_0^t a(x-cs)ds \\ &=&g(x+ct)+ \frac{1}{c}\int_{x-ct}^x a(y)dy\\ &=&g(x+ct)+ \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} a(y)dy\end{eqnarray}\]

となります。

ここで\(a\)を初期条件の言葉で表すと、

\[\begin{eqnarray} a(x) &=& v(x,0) \\&=& \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)-c\frac{\partial u}{\partial x}(x,0)\\ &=& h(x)-cg^{\prime}(x) \end{eqnarray}\]

です。これを元の式に戻せば、

\[\begin{eqnarray} u&=&g(x+ct)+ \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} h(y)-cg^{\prime}(y)dy \\ &=& g(x+ct)+ \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} h(y)dy \\&&+\frac{1}{2}[g(y)]_{x-ct}^{x+ct}\\ &=& \frac{1}{2} \{ g(x+ct) +g(x-ct)\} \\ &&\frac{1}{2c} \int _{x-ct} ^{x+ct} h(y)dy\end{eqnarray}\]

とダランベールの公式が得られました。

 

以上、1次元波動方程式の解として、ダランベールの公式の証明、導出を紹介してきました。

この方法が通用するのは1次元のみで、2次元ではポアソンの公式、3次元ではキルヒホッフの公式と呼ばれる解が知られています。より一般的な解法としてはフーリエ級数による解法があります。

1次元の波動方程式では、偏微分をうまく分解して移流方程式に帰着でき、解の挙動もわかりやすい表示式が得られて嬉しいですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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