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「趣味の大学数学」おすすめ入門書籍・教科書・参考文献

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

僕が「趣味の大学数学」でおすすめする、大学数学の入門書籍・教科書・参考文献を紹介していきます! 大学時代にお世話になった本紹介ともいう。

解析学多め。随時更新中。

読む順序について:大学数学のロードマップ ~ 分野一覧と学ぶ順序

読み物

教科書をいきなり読む前に、一般向けの本で興味のありそうなことを探してみましょう。

 

 

志学数学 -研究の諸段階 発表の工夫 (シュプリンガー数学クラブ)
伊原 康隆
丸善出版
売り上げランキング: 395,356

数学の学び方、本の読み方を教えてくれた本。数学の知識なしに読めるますし、数学専門以外のあらゆる人に手にとってほしい一冊。

参考:数学を志す人のための本「志学数学」に教えてもらった、本をじっくり考えながら読む楽しさ – 文脈をつなぐ

 

 

チューリング 情報時代のパイオニア
B・ジャック・コープランド
エヌティティ出版 (2013-12-05)
売り上げランキング: 191,277

コンピュータの父であり数学者:アラン・チューリングについて学べる本。このサイトもコンピュータがなければないもので、世界を変えた人物のひとりと言えます。数学を専門としない一般の人に、まず知っていただきたい数学者のひとりです。

参考:生き物の模様は数式で決まる? チューリング・パターンとは「数の計算からあらゆるものの計算へ」コンピュータの基礎・チューリングマシンとはなにか? – 文脈をつなぐ

 

 

数学のスーパースターたち―ウラムの自伝的回想 (1979年)
ウラム
東京図書
売り上げランキング: 1,442,216

原子爆弾を生み出したマンハッタン計画。その内情を伝える回想録です。戦時下でありながら、研究所は科学者にとって魅力的な環境。チューリングと並ぶコンピュータの父:フォン・ノイマンも登場します。

科学者にとっていかに好奇心がモチベーションとなるか、また科学研究の結果をどう社会は負うべきなのか考えさせられる本です。

参考:戦争に飲み込まれた科学者の好奇心 マンハッタン計画と原子爆弾 – 文脈をつなぐ

 

 

数学する人生
数学する人生
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岡 潔
新潮社
売り上げランキング: 27,002

多変数複素関数論に大きな業績を残した日本の数学者:岡潔(おかきよし)の思想を紹介した本。数学について「理知的に」わかるだけでなく、「情的に」わかる感覚など、数学をしながら体験する感覚を掘り下げていきます。

参考:「数学する人生」数学者・岡潔が詠った日本の情緒 – 文脈をつなぐ

 

岡潔―日本のこころ (人間の記録 (54))
岡 潔
日本図書センター
売り上げランキング: 245,617

 

 

いかにして問題をとくか
G. ポリア
丸善
売り上げランキング: 15,491

 

数学における発見はいかになされるか〈第1〉帰納と類比 (1959年)
ポリア
丸善
売り上げランキング: 523,462

いかにして問題をとくか」は、NHK「クローズアップ現代」にてビジネスに応用できる数学本として取り上げられた、書店でもよく並んでいる本です。よくある参考書のように問題の解き方を紹介するのではなく、解き方を思いつく方法が紹介されています。

僕が好きなのは、同じくポリアの「数学における発見はいかになされるか」です。数学や科学における仮説の作り方、推論の方法を考えたもの。論理学よりもより一般に、科学全般に使える考え方を提供してくれます。

 

 

数と量の出会い 数学入門 (大人のための数学 1)
志賀 浩二
紀伊國屋書店
売り上げランキング: 104,934

数の誕生から微積分まで、中学生レベルでもわかるように書かれた本。志賀先生の本はとにかくわかりやすく一般向けに数学の世界を紹介してくれるので、本書に限らずおすすめ。

 

 

抽象代数の歴史
抽象代数の歴史
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I.クライナー
日本評論社
売り上げランキング: 537,713

アルゴリズムの由来となったアラビアの数学者アル=フワリズミから、現代的な代数学まで、代数学まわりの数学がどう発展してきたかがまとまっている歴史書です。

 

ウェブで読めるもの

数学の学び方に関するヒント――数学科の学生の皆さんへ―― 黒木 玄

大学の数学書の読み方、とも言える文章。数学は、最初から理論があって演繹していく学問ではなく、他の学問と同様に帰納の学問、予想を作っていく学問であることが指摘されています。

 

数学科の大学院生に向けた、やや厳し目の文章。かなり有名なので、数学科の人ならこの文章を知らない人はいないのではないでしょうか。「何も見ないで発表できるようにする」スタイルは僕も身につけましたが、これは数学以外のあらゆる分野で役立つスキルです。

 

アホでも数学者になれる方法──アホぢからはこわい

タイトルでわかるように、フランクに数学の研究方法のひとつを紹介した文章。50近くトピックがあり、コラム集として読むのも面白い。

 

映画

 

チューリングがドイツ軍の暗号をチームで解読していくドラマが描かれた映画。幼い頃の同性の友人・クリストファーに寄せる思いを、マシンによって再現しようとしたのではないか。人間の心とコンピュータの誕生がつながっていると感じられる話。

 

 

ビューティフル・マインド(吹替版)
(2017-07-01)
売り上げランキング: 33,646

ゲーム理論・ナッシュ均衡や経済学で有名なジョン・ナッシュをテーマにした人物の半生を描く映画。若くして才能を評価された彼は、軍事組織で暗号解読の仕事をするが、やがて精神的にい追い詰められ……。夫婦の関係性を描いた物語。

 

 

博士の愛した数式
博士の愛した数式
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(2013-11-26)
売り上げランキング: 112,573

小川洋子による日本の小説を映画化した作品。主人公の女性が家政婦として派遣された先は、80分しか記憶が持たない(元)数学者のおじいさんだった。人付き合いが苦手なおじいさんだったが、数学を通じて時代に打ち解けてゆき……。数学に魅せられていくのが体感できる温かい話。

 

基礎数学

論理学

論理学は大学数学のためだけでなく、教養として身につけたい

 

入門!論理学 (中公新書)
入門!論理学 (中公新書)
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野矢 茂樹
中央公論新社
売り上げランキング: 4,239

 

論理学
論理学
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野矢 茂樹
東京大学出版会
売り上げランキング: 29,141

読み、書き、考えることに、論理学は自然と生きてきます。野矢さんの論理学の本は、入門の読み物として読みやすくおすすめ。

 

 

論理と集合から始める数学の基礎
嘉田 勝
日本評論社
売り上げランキング: 262,604

数学の教科書ではあまり見られないが重要なトピックである、真理値を使った命題計算など、数学で使う論理の基礎についてきちんと書かれた本です。厳密でありながら丁寧な説明であり、論理のトレーニングとしておすすめしたい1冊。

 

集合論・位相空間論

集合・位相入門
集合・位相入門
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松坂 和夫
岩波書店
売り上げランキング: 44,656

僕が大学数学を好きになったきっかけの1冊。定義や記号の意味が、始めてこの分野にふれる人にでもわかるよう、長文で詳しく解説されている。この本をきっかけに、数学の証明というものが理解できて、結果として線形代数や微積分学のような教養数学も理解できるようになった。大学数学の第一歩としておすすめ。

 

 

「集合と位相」をなぜ学ぶのか ― 数学の基礎として根づくまでの歴史
藤田 博司
技術評論社
売り上げランキング: 66,565

集合・位相空間論の教科書ではないけれども、副読本としておすすめの一冊。数学的な証明もあるが、そこはわからなくても読み物として読める。なぜ集合論・位相空間論という分野が生まれ、大事にされているのか、歴史的な数学者たち(フーリエやリーマン)の研究を辿りながら理解できる。2018年の新しい本で、僕の学生時代にこの本があったら、絶対読んでいた。松坂「集合・位相入門」とセットで読みましょう。

 

教養数学

微積分学

演習微分積分 ((サイエンスライブラリ―演習数学))
寺田 文行
サイエンス社
売り上げランキング: 94,032

演習書だが、教科書としても使える。高校数学の参考書:チャート式に近いスタイル。まずは一般論に入る前に、この本で多変数の微積分の計算に慣れてみると良いだろう。

 

 

解析入門 Ⅰ(基礎数学2)
解析入門 Ⅰ(基礎数学2)
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杉浦 光夫
東京大学出版会
売り上げランキング: 32,943

解析学を専門としたい人は抑えたい本。はじめて見たときは抽象的でとっつきがたいと思ったが、基礎を固めるためには疑問点が少なくとても役立った。

 

 

解析入門  Ⅱ(基礎数学3)
解析入門 Ⅱ(基礎数学3)
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杉浦 光夫
東京大学出版会
売り上げランキング: 36,405

陰関数とベクトル解析など、少し進んだ解析学のトピックを扱っている。多変数の解析学の厳密な証明を学びたい人向け。複素解析の部分も入門書としてまとまっている。

 

 

新修解析学
新修解析学
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梶原 壌二
現代数学社
売り上げランキング: 882,300

大学院入試の問題を解説しつつ、解析学の話が学べる本。著者のクセのある語りが面白い。解析学のおさらい・再理解に。

 

線形代数学

新修線形代数 (1980年)
新修線形代数 (1980年)
posted with amazlet at 18.07.23
梶原 壌二
現代数学社
売り上げランキング: 1,219,428

高校卒業から読める線形代数の入門本。数学の教員採用試験に出る問題を紹介しつつ、その裏にある理論を紹介している。具体的な問題から入っていくので、線形代数の世界に入りやすいだろう。

 

 

線型代数入門 (基礎数学1)
齋藤 正彦
東京大学出版会
売り上げランキング: 27,441

行列、線形空間、固有値、対角化と線形代数の基本的なトピックについておさえた本。集合論の知識もおぎなってくれていて、かつ例も多いので、抽象的な話も理解しやすいと思う。

 

 

線形代数の世界―抽象数学の入り口 (大学数学の入門)
斎藤 毅
東京大学出版会
売り上げランキング: 269,349

はじまりが行列ではなく線形空間の一般論という、アドバンスドな線形代数学の本。双対空間やテンソル積など、普通の線形代数の教科書では扱わないが線形代数のトピックとして重要なものが学べる。

 

解析学

微分方程式論

常微分方程式論

講座 数学の考え方〈7〉常微分方程式論
柳田 英二 栄 伸一郎
朝倉書店
売り上げランキング: 397,356

物理に登場するような微分方程式の具体的な具体例から、線形微分方程式の解き方を扱ったスタンダードな微分方程式の教科書。解ける常微分方程式の話はこれでカバーできる。後半は力学系理論の話もあり、力学系理論入門としてもおすすめ。

 

 

偏微分方程式論

 

偏微分方程式入門 (基礎数学)
金子 晃
東京大学出版会
売り上げランキング: 175,743

弦の振動や熱伝達といった自然現象から、偏微分方程式を導出していく。具体的な方程式の扱い方が学べる、好きな教科書のひとつ。「趣味の大学数学」も、この本のスタイルのようにやっていきたい。

 

 

Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics)
Lawrence C. Evans
Amer Mathematical Society
売り上げランキング: 171,054

偏微分方程式の教科書といえば、エバンス(Evans)。というくらい定番の本。楕円形、放物型、双曲型と呼ばれる偏微分方程式の分類3種すべてのことがわかる。弱解、変分法など、関数解析を使った偏微分方程式論でもある。

 

 

共立講座21世紀の数学 (25) 非線形偏微分方程式
儀我 美一 儀我 美保
共立出版
売り上げランキング: 125,464

非線形の偏微分方程式について、解の挙動を分析する方法が学びやすい本。熱方程式、ナビエ・ストークス方程式から導かれる渦度方程式を舞台に、特殊解・自己相似解の理論で解の動きを解き明かしていく。

 

 

反応拡散方程式
反応拡散方程式
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柳田 英二
東京大学出版会
売り上げランキング: 539,074

チューリング・パターン」など自然界のさまざまな場所で見られる現象を舞台にした数学、反応拡散方程式の教科書。一変数、多変数ともに、一般論と具体例が紹介されていて、多様な反応拡散方程式の世界がわかるだろう。

参考:生き物の模様は数式で決まる? チューリング・パターンとは

 

力学系理論

 

非線形の力学系とカオス
S. ウィギンス
シュプリンガー・フェアラーク東京
売り上げランキング: 1,154,556

力学系理論の入門書としておすすめの一冊。僕は学部4年のときにゼミで英語版のこれを読みました。僕は主に常微分方程式の力学系に関する部分を読みましたが、離散力学系・記号力学系の話題も豊富です。

 

 

Hirsch・Smale・Devaney 力学系入門 ―微分方程式からカオスまで―
Morris W.Hirsch Stephen Smale Robert L.Devaney
共立出版
売り上げランキング: 171,188

力学系理論の大家:ハーシュとスメールが、微分方程式、力学系、線形代数学の基礎的なところから力学系理論の話をしてくれる本。「非線形の力学系とカオス」より基礎的。線形力学系の話が詳しい。

 

 

偏微分方程式の力学系を考えると、関数空間を相空間とすると無限次元の力学系となる。そんな無限次元の力学系の入門書。ソボレフ空間などの関数解析的ツールを準備した上で、グローバルアトラクターの存在条件を考えます。

 

ルベーグ積分論

 

ルベーグ積分入門―使うための理論と演習
吉田 伸生
遊星社
売り上げランキング: 235,195

僕が数学を研究してみたいと思ったきっかけの1冊。見通しがよくルベーグ積分が組み立てられていくので、測度の話から優収束定理までストレートに理解できる。証明が詳しいので、数学が苦手な僕のような人でも理解しやすい。

 

 

ルベーグ積分入門(新装版) (数学選書)
伊藤 清三
裳華房
売り上げランキング: 76,163

古典的な名著。リーマン積分とルベーグ積分の関係、カントール集合など、基礎的なトピックに詳しい。

 

関数解析学

関数解析 共立数学講座 (15)
黒田 成俊
共立出版
売り上げランキング: 142,817

分厚いけれどもよくまとまった関数解析の教科書。線形代数学で扱う有限次元のケースと対比させて説明していくので、線形代数を理解した人なら自然と理解していける。線形作用素と関数空間の入門的トピックはすべて入っている。

さらに進んだトピックを学びたいなら、Brezis「Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations」が定番。

 

複素解析

 

複素関数入門 (現代数学への入門)
神保 道夫
岩波書店
売り上げランキング: 177,082

一変数の複素関数、コーシーの積分定理あたりまで、厳密だがコンパクトにまとまっている。扱っている例がシンプルでわかりやすい。

 

 

複素解析 (プリンストン解析学講義)
エリアス・M. スタイン ラミ シャカルチ
日本評論社
売り上げランキング: 214,847

神保「複素関数入門」よりは発展的な内容の教科書。解析接続や等角写像といったトピックを学びたいならこちらの方が良い。

 

確率論

確率論 (新しい解析学の流れ)
熊谷 隆
共立出版
売り上げランキング: 90,917

高校数学を導入に、近代確率論に入門していく本。ルベーグ積分の知識が少しはあったほうが良い。式変形が丁寧で、中心極限定理まで至る。後半は確率過程論であり、数理ファイナンス入門としても読める。

 

幾何学

多様体論

多様体の基礎 (基礎数学5)
松本 幸夫
東京大学出版会
売り上げランキング: 85,963

多様体の定義、接ベクトル空間、埋め込み、微分形式など、多様体に関する基礎的トピックが集まった本。杉浦「解析入門」が読めれば読める。

 

位相幾何学・トポロジー

位相幾何学 (数学シリーズ)
加藤 十吉
裳華房
売り上げランキング: 594,690
 

 

大学院への幾何学演習
大学院への幾何学演習
posted with amazlet at 18.07.23
河野 明 吉岡 巌 三村 護
現代数学社
売り上げランキング: 346,684

 

微分幾何学

 

曲線と曲面(改訂版) -微分幾何的アプローチ
梅原 雅顕 山田 光太郎
裳華房
売り上げランキング: 252,226

曲線、曲面の幾何学の入門書として最適。2次元、3次元のケースを図を交えつつ分析していくので、イメージしやすく面白い。

 

代数学

 

代数系入門
代数系入門
posted with amazlet at 18.07.23
松坂 和夫
岩波書店
売り上げランキング: 111,387

群、環、体、加群など、代数の基礎トピックが幅広く集まっている。自然数、実数の構成についてもこれでおさえられる。

 

 

はじめての数論 原著第3版 発見と証明の大航海‐ピタゴラスの定理から楕円曲線まで

教科書というよりは一般向けの本。フェルマーの定理から楕円曲線まで、数学の内容だけでなくその応用(暗号理論など)まで、大学数学の知識がなくても読めるようになっています。

 

いろいろな本をパラパラと見比べた上で、気に入っった本をじっくり読み込むのが大学数学を理解して楽しむコツではないかと思います。ここで紹介した本が本選びの参考になれば幸いです。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。