減衰振り子の力学系：平衡解の安定性を線形化して調べる

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、おもりバネダンパ系の力学系について、平衡解の安定性を線形化して調べてみます。

減衰振り子の運動方程式は、

\[ \begin{aligned}m\frac{d^2 x}{dt^2} = -k \sin x -c\frac{dx}{dt}\end{aligned} \]

と表される2階線形微分方程式です。ただし、\(c,k>0\)は定数です。\(c=0\)のときが減衰のない振り子に対応します。

これはおもりバネダンパ系に似ていて、バネの力\(-kx\)が振り子の力\(-k \sin x\)となったものです。

その解の挙動を力学系のアプローチで調べるために、これを連立方程式として表しましょう。\(x_1 =x\)、\(x_2 = \frac{dx}{dt}\)と置くと、方程式は

\[ \begin{aligned}\frac{dx}{dt} = \begin{pmatrix}x_2 \\ -\frac{k}{m}\sin x_1 -\frac{c}{m}x_2 \end{pmatrix}\end{aligned} \]

となります。

この方程式の平衡解は、右辺=0となる点です。サインが0となる点を考えると、\((2n\pi,0)\)、\(((2\ell+1)\pi,0)\)、\(n,\ell \)は整数となる点が平衡点ですね。

これらの平衡点における解の安定性を、線形化の方法で調べてみましょう。まず一般的な線形化方程式は

\[ \begin{aligned} \frac{dx}{dt}&= \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -\frac{k}{m}\cos x_1& -\frac{c}{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

となります。

\((2n\pi,0)\)における線形化方程式は

\[ \begin{aligned} \frac{dx}{dt}&= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -\frac{k}{m}& -\frac{c}{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

です。固有値は\(\lambda = \frac{-\frac{c}{m}\pm \sqrt{\frac{c^2}{m^2} -4 \frac{k}{m}}}{2}\)となります。

\(c\)が十分小さいとき（\(\frac{c^2}{m^2} -4 \frac{k}{m} <0\)となるとき）、固有値は共役な複素数で、実部はともに負です。このケースは、平衡解は安定なスパイラルと呼ばれます。

\(((2\ell +1)\pi,0)\)における線形化方程式は

\[ \begin{aligned} \frac{dx}{dt}&= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ \frac{k}{m}& -\frac{c}{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

です。固有値は\(\lambda = \frac{-\frac{c}{m}\pm \sqrt{\frac{c^2}{m^2} +4 \frac{k}{m}}}{2}\)となります。

\(c\)の値が何であろうが、固有値は正負の実数です。このケースは、平衡解はサドルに分類されます。