RL直列回路の微分方程式の立て方、電流の求め方、過渡現象

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、RL直列回路(抵抗コイル回路)の電流を、微分方程式を解いて求めてみます。

 

考えるのは、次のような電気回路です。

電圧\(E\)の電池、抵抗\(R\)の抵抗、インダクタンス\(L\)のコイルがあります。抵抗とコイルが直列につながれているので、これをRL直列回路と呼びます。

 

この図から、電流\(I(t)\)に関する微分方程式(回路方程式)を立ててみましょう。

まず電圧に注目しましょう。オームの法則より、抵抗によって\(E_R:=RI\)だけ電圧が下がります。コイルを流れる電流に依存して、\(E_L:=L\frac{dI}{dt}\)だけ電圧が下がります(誘導起電力、インダクタンスの定義)。

そして、キルヒホッフの第2法則「閉回路について、起電力の和と電圧降下の和は等しい」を適用しましょう。

\[E_R+ E_L =E\]

\[ RI+ L \frac{dI}{dt}=E\]

です。\(I\)について整理すると、

\[\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I =\frac{E}{L}\]

という微分方程式が得られました。

 

この方程式は、線形微分方程式として解くことができます

まず、同次形の方程式

\[\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I =0\]

は、変数分離形として、積分によって解くことができます。

\[  \int  \frac{1}{I} dI= \int -\frac{R}{L} dt\]

\[ \log |I|= -\frac{R}{L}t+C\]

\[I_1 (t)= C e^{-\frac{R}{L} t}\]

です。定数変化法として、\(I (t) =C(t)e^{-\frac{R}{L} t}\)を非同次の方程式に代入しましょう。

\[\frac{dC}{dt}e^{-\frac{R}{L} t}-\frac{R}{L}Ce^{-\frac{R}{L} t}+\frac{R}{L}Ce^{-\frac{R}{L} t}=\frac{E}{L}\]

\[\frac{dC}{dt}=\frac{E}{L}e^{\frac{R}{L} t}\]

これを積分すると、

\[C(t) = \frac{E}{R} e^{\frac{R}{L} t} +C\]

となります。これを使えば、

\[\begin{eqnarray}I(t)&=&C(t)e^{-\frac{R}{L} t} \\&=& \frac{E}{R} +Ce^{-\frac{R}{L} t} \end{eqnarray}\]

と解が求められました。初期条件を\(I(0)=I_0\)とすると、

\[I(t)=\frac{E}{R} +(I_0 -\frac{E}{R})e^{-\frac{R}{L} t}\]

となります。

 

この解は、指数関数の効果によって、\(t\)が大きくなると一定の値に近づきます。すなわち、\(\lim_{t \to \infty} I(t) = \frac{E}{R}\)です。

この回路にスイッチをつけ、\(I_0=0\)から電流を流し始めたとしましょう。最初はコイルによって電圧増加が妨げられるわけですが、抵抗と電源の電圧と合わさって、つりあいの状態に向かっていきます。つまり、電流は一定(\(\frac{R}{E}\))になります。

電流が一定になった状態は定常状態(steady state)、定常状態に向かうまでの変化している状態を過渡状態(transient state)、非定常状態と呼びます。全体を通し、過渡状態から定常状態へ変化するような現象は、過渡現象(transient phenomena)と呼ばれるものです。

定常状態は、次のように求めることもできます。変化がない\(\frac{dI}{dt}=0\)ので、\(\frac{R}{L}I =\frac{E}{L}\)となり、\(I= \frac{E}{R}\)と。

高校物理でもRL回路について学ぶでしょうが、微分方程式を解くと、その理屈に納得しやすいと思います。

参考:5分でわかる!RL回路 – Tryit

 

以上、RL回路の微分方程式の立て方、電流の求め方を紹介してきました。

コンデンサを含んだRLC回路を考えるためにも、まずはRL回路を基礎として知っておくと良いでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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