常微分方程式の変数分離形とは:証明と注意点(特異解)

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、常微分方程式の解き方として最も基本的な変数分離形について、その証明と注意点を紹介します。

 

変数分離形とは

\[\frac{dx}{dt} = x\]

\[\frac{dx}{dt} = x-x^2\]

\[\frac{dx}{dt} = -x\]

といった微分方程式は応用で登場しますが、簡単に解くことができることが知られています。

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このように、

\[\frac{dx}{dt} = f(x)g(t)\]

と表せる微分方程式を一般に、変数分離形(separation of variables)と呼びます。関数\(x\)とその変数\(t\)が分かれた形です。

\(f(x) \neq 0\)のとき、両辺をそれで割ると

\[\frac{1}{f(x(t))} \frac{dx}{dt} = g(t)\]

となり、両辺を\(t\)について(不定)積分すれば

\[ \int\frac{1}{f(x(t))} \frac{dx}{dt} dt = \int g(t)dt +C\]

となります。ここで左辺を、\(x\)を新たな変数として見ましょう。\(x=x(t)\)と置換すると、合成関数の積分(置換積分)の計算として、

\[\int \frac{1}{f(x)} dx = \int \frac{1}{f(x(t))} \frac{dx}{dt} dt\]

となります。つまり、

\[ \int\frac{1}{f(x)} dx = \int g(t)dt +C\]

が得られました。

この議論は、\(\frac{1}{f(x)},g(t)\)が積分可能(例えば連続)ならば、正当化されますね。

 

形式的には、

\[  \frac{1}{f(x)}dx = g(t)dt\]

と単に左辺に\(x\)を集め、右辺に\(t\)を集めて、それぞれの変数で積分すれば計算できることがわかります。

 

変数分離形の注意点

変数分離法によって得られる、積分定数:任意の定数\(C\)を使って表される解を、微分方程式の一般解(general solution)と呼びます。

特定の初期条件\(x(0)=x_0\)を満たす解を探すとき(初期値問題)、そもそも\(f(x(0)) \neq 0\)を満たすかもしれません。そのときは、変数分離法で計算して得られた解が、確かに解であると結論できます。

 

変数分離法では、\(f(x) \neq 0\)と仮定して解を得ていることに注意しましょう。

ここで、\(f(a)=0\)となる\(x=a\)があるケースを考えます。このとき、\(x(t)=a\)も\(\frac{dx}{dt} = f(x)g(t)\)を満たすことになります。もし微分方程式が解の一意性を満たすならば、\(x(0)=a\)を満たす解は\(x(t)=a\)のみと議論できます。他の解は、\(f(x(t))=0\)を満たさないわけです。

このように、\(f(x)=0\)を満たすような解を、暗黙解(implicit solution)と呼びます。例えば、\(f(x)=x-x^2\)ならば、\(x(t)=0\)、\(x(t)=1\)は暗黙解です。

 

暗黙解が一般解に含まれないケースもあります。

\[\frac{dx}{dt}=\sqrt{x} \]

を解いてみましょう。まず、\(x(t)=0\)という暗黙解があります。

\(x\neq 0\)のとき、変数分離法によって

\[ \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int dt+C\]

なので、

\[2 \sqrt{x } =t+C\]

で、

\[x(t) = \frac{1}{4}(t+C)^2\]

が得られます。これはどのように\(C\)を選んでも、恒等的には0にならない\(x(t) \neq 0\)ので、暗黙解を表現できていません。このように、一般解として表せない解を特異解(singular solution)と呼びます。

多くのケースで解の一意性は保証され、暗黙解は一般解に含まれます。ただし、含まれないケースもあるので、変数分離法で解くときには、暗黙解があるかどうか、チェックしておくと良いでしょう。

 

以上、常微分方程式の変数分離形による解き方、証明と注意点を紹介してきました。

「変数が分かれていれば、積分によって微分方程式が解ける」という事実は、微分方程式の解法で最も基本的なものです。変数分離に見えない微分方程式でも、変数変換によって変数分離形に帰着できることもあります。

簡単な変数分離形の微分方程式を解けるようになりつつ、\(f(x)=0\)となるケースにも注意を払えるようになると良いですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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