生物の増え方を予測:ロジスティック方程式とは?

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

人間の人口や生物の個体数の増加は、微分方程式によって予測できる部分があります。

個体数が増えれば繁殖してさらに増えるという、単純に増加するモデルはマルサスモデル、指数関数的成長と呼ばれるものでした。

しかし、現実問題、人口や個体数は無限に増え続けるわけはありません。増え過ぎれば、食料が足りなくなったり、環境が悪くなったりして、繁殖率が下がるはずです。

今回は、こうした事情を取り入れた、ロジスティック方程式について紹介します。

 

ロジスティック方程式とは

\(u(t)\)を人口、もとい個体数を表す関数として、マルサスモデルは、次のような微分方程式でした。

\[\frac{du}{dt}= u\]

右辺に、\(u\)が大きいときにマイナスになる効果、\(-u^2\)を加えてみましょう。

 

\[\frac{du}{dt}= ru(1 – \frac{u}{K})\]

これがロジスティック方程式(logistic equation)です。\(r,K>0\)は定数で、その意味は後に紹介します。

これを解いてみましょう。

変数分離形なので、積分によって解くことができます。部分分数分解して積分を計算すると、

\[u(t)= \frac{K}{1+ C e^{-rt}}\]

\[C = \frac{K}{u(0) } -1\]

となります。

画像引用:Wolframalpha

\(u\)は最初グッと増加し、\(t\to \infty\)でゆるやかに\(K\)に収束します。

\(r\)は、個体数が少ないときの指数的な増殖の速さを表すもので、内的自然増加率(intrinsic rate of natural increase)と呼ばれます。

一方、\(K\)は環境収容力(carrying capacity)と呼ばれ、値が大きいほど最終的に住める個体数が増えるもの。

 

この解は、ロジスティック曲線と呼ばれる関数で、ベルギーの数学者:ヴェアフルスト(Verhulst 1804 – 1849)によって名付けられました。

ロジスティックの意味は、logistic(兵站の)よりはむしろ、対数曲線に似た(log-like)に近いと思われます。(参考:Logistic function – Wikipedia

(ロジスティック曲線の特殊な場合として、シグモイド関数があります。シグモイド関数は、種々の応用があり、例えば学習モデル:ニューラルネットワークに使われることがあります。)

 

実際、ミジンコなどの微生物や小さな昆虫では、ロジスティック曲線に従った増え方をすることが知られています。

画像引用:巌佐 数理生物学入門―生物社会のダイナミックスを探る

環境によって、\(r,K\)の値を調節する必要があります。これらが、例えば温度、栄養、密度についてどんな影響を受けるか気になるものです。

 

ロジスティック方程式は、項をかけたり加えたりすることで、より詳細な記述ができます。例えば、\((u-a)\)をかけたり、\(\frac{u^2}{1+u^2}\)を引いたモデルを考えることがあります。

さらには、今回は1種の生物の増殖について考えましたが、2種の生物の個体数の増減のモデルを考えることができます。

それは被食者-捕食者モデル(ロトカ・ヴォルテラ方程式)と呼ばれるものですが、こちらもロジスティック方程式を基準にした増減を考えたもの。

個体数が少ないときには増加し、増加が一定に達したら増加率が下がっていく\(u(1-u)\) モデルは、単純でありながら基本的なモデルと言えるでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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