微分(導関数)のラプラス変換の求め方、証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、微分(導関数)のラプラス変換の求め方、証明を紹介します。

 

\(f(t)\)を実数値関数として、そのラプラス変換

\[L(f)(s) := \int_0 ^\infty e^{-st}f(t)dt\]

と定義されます。

これは微分について都合の良い性質を持つため、微分方程式を解くために利用できます。その性質とは次のものです。

\[L(f^{\prime})= sL(f)-f(0)\]

\[L(f^{\prime \prime})=s^2 L(f)-sf(0)-f^{\prime}(0)\]

\[L(f^{(n)})=s^n L(f)-s^{n-1}f(0)\\-\cdots-f^{(n-1)}(0)\]

これらの式のためには、\(f\)の導関数が存在するだけでなく、そのラプラス変換が一意に存在するための仮定が必要です。

  • 最高次の導関数は、\([0,\infty)\)の任意の有界閉区間上で、区分的に連続である(不連続点が有限個)である
  • 関数\(f\)やその導関数は増加の制限\(|f(t)|\leq  Me^{kt}\)を満たす

 

では、これらのラプラス変換が存在する条件が満たされた上で、ラプラス変換の微分の式を導きましょう。

部分積分がその基本です。

\[\begin{eqnarray} L(f^{\prime})(s) &= &\int_0 ^\infty e^{-st}f^{\prime}(t)dt
\\ &=&[e^{-st}f(t)]_0 ^\infty +s\int_0 ^\infty e^{-st}f(t)dt
\\ &=& sL(f)-f(0)\end{eqnarray} \]

となります。これは\(f^{\prime}\)が連続のケースですが、区分的に連続なケースならば、各区間で同様の議論をすれば結果が導かれます。

続いて、\(f^{\prime \prime}\)のときは、さきほどの\(f^{\prime}\)を\(f^{\prime \prime}\)に置き換えましょう。すると、

\[\begin{eqnarray} L(f^{\prime \prime})(s)&=& sL(f^{\prime})-f^{\prime\prime}(0)\\ &=& s^2L(f)-sf^{\prime}(0)-f^{\prime\prime}(0)\end{eqnarray}\]

となります。高階の場合も同様で、\(f^{(n)}=(f^{(n-1)})^\prime\)と見て、数学的帰納法によって、

\[\begin{eqnarray} L(f^{(n)})(s)&=& sL(f^{(n-1)}) -f^{(n-1)}(0)\\&=& s^n L(f)-s^{n-1}f(0)\\&&-\cdots -f^{(n-1)}(0)\end{eqnarray}\]

と結論が導けました。

 

この性質を使えば、微分のラプラス変換を代数的に求められることがあります。

例えば、\(f(t) =\cos \omega t\)のラプラス変換を求めてみましょう。\(f^{\prime \prime} =-\omega ^2 f(t)\)となることに注意して、

\[L(f^{\prime \prime})=s^2 L(f)-sf(0)-f^{\prime}(0)\]

という式に当てはめます。すると、

\[-\omega ^2 L(f)=s^2 L(f)-s\]

なので、

\[L(f)= \frac{s}{s^2+\omega ^2}\]

と求められました。

指数関数や三角関数のように、何回か微分すると同じ形が表れる関数は、例えば\(L(f)=L(f^{\prime \prime})\)といった関係と微分の等式から、ラプラス変換が有理式として表せることがわかりますね。

 

以上、微分のラプラス変換の求め方、その証明を紹介してきました。

部分積分すれば良いだけなので、無理に覚えようとしなくても導ける性質です。それでありながら、コサインのラプラス変換の計算で見たように、ラプラス変換は非常に便利な性質を持っていることが感じられますね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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