1次元のポアソン方程式の解き方:定数変化法

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、1次元のポアソン方程式の解き方を紹介します。

 

考える方程式は、

\[-\frac{d^2 u}{d x^2}  =f(x)\]

です。多次元だと左辺は2回偏微分の和となりますが、1次元なので単なる2回微分となっています。形としては、非同次(非斉次)の2階線形常微分方程式です。

非同次の方程式の解き方としては、未定係数法定数変化法ラプラス変換などが知られています。

 

今回は、定数変化法によって一般的な解を得てみましょう。

同次形の方程式

\[-\frac{d^2 u}{d x^2}  =0\]

の解は、\(u(x)=C_1 x+ C_2\)です。

参考:1次元のラプラス方程式の解き方

そこで、\(u_0(x)=C_1(x) x+C_2(x)\)と係数を関数に置き換えたものと仮定します。その微分は、

\[u_0^{\prime} = C_1^{\prime} x +C_1 +C_2^{\prime}\]

です。特殊解を得るために、\(C_1^{\prime} x +C_2^{\prime} =0\)という仮定を足しましょう。すると、\(u_0^{\prime \prime}= C_1 ^{\prime}\)です。これをポアソン方程式に代入しましょう。すると、

\[-C_1^{\prime}=f(x)\]

です。一方、仮定から

\[\begin{eqnarray} C_2^{\prime}&=& -C_1^{\prime}x \\ &=& xf(x)\end{eqnarray} \]

となります。それぞれを積分することで、係数を決定でき、

\[u(x)= -x(\int_{x_0}^x f(s)ds+C_3) + \int_{x_0}^x sf(s)ds +C_4 \]

がポアソン方程式の解であるとわかりました。

 

具体的にひとつ解を得てみましょう。

考える区間を\([0,\pi]\)、非同次項を\(f(x)=\sin x\)とします。境界条件を\(u(0)=0,u(\pi) =1\)としましょう。積分を計算すれば、

\[\int_0 ^x \sin s ds=1-\cos x\]

\[\int _0 ^x s \sin s ds =\sin x -x \cos x\]

なので、

\[u(x)=-x(1-\cos x+C_3)\\ +\sin x -x \cos x +C_4\\ = -x(1+C_3)+\sin x +C_4\]

となります。境界条件より、\(C_4 =0\)、\(C_3 = -1-\frac{1}{\pi}\)です。よって、解は

\[u(x)=\frac{1}{\pi}x +\sin x\]

とわかりました。

 

以上、1次元のポアソン方程式を、定数変化法を使って解く方法を紹介してきました。

2次元以上のポアソン方程式の境界値問題や全空間における問題は、グリーン関数や基本解という考えを用います。

まずは簡単なケースとして、1次元のポアソン方程式を解いてみると、イメージがつかみやすいのではないでしょうか。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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