1次元のラプラス方程式の解き方

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、1次元のラプラス方程式の解き方を紹介します。

 

1次元のラプラス方程式は、

\[\frac{d^2u}{dx^2}=0\]

と表される方程式です。2次元以上だと空間2回偏微分の和が0になるという条件ですが、1次元では単に常微分方程式の問題となっています。

この問題は、例えば熱方程式の定常問題(時間変化しなくなった解)として現れます。

 

この方程式は簡単に解くことができます。単に\(x\)について2回積分すれば良いのです。

\[\frac{du}{dx}= C_1\]

\[u(x)= C_1x +C_2\]

となります。2階線形微分方程式において、特性方程式が\(\lambda =0\)の重解のケースとして見ても良いでしょう。

 

区間を\([0,1]\)として、境界条件を\(u(0)=1\)、\(\frac{du}{dx}(1)=0\)とすると、解は\(u(x)=1\)となります。この境界条件は、\(x=0\)で一定の温度、\(x=1\)で断熱条件に対応したものです(混合境界条件)。

 

ディリクレ境界条件\(x(0)=x(1)=0\)のときの熱方程式の解は、次のようになります。

これに対応するラプラス方程式の解は、\(u(x)=0\)です。一定の温度に収束するのが見て取れますね。

 

以上、1次元のラプラス方程式の解き方を紹介してきました。

2次元以上のラプラス方程式を解くならばフーリエ級数が必要になりますが、1次元ならば非常に簡単で、解は1次関数となります。

ラプラス方程式のイメージがつかみにくいと感じたならば、まずは1次元のケースを考えてみてはいかがでしょうか。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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