オイラー・コーシーの微分方程式の解き方、例

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、オイラー・コーシーの微分方程式の解き方、例を紹介します。

 

オイラー・コーシーの方程式(Euler-Cauchy equation)とは、\(a,b\)を定数として、

\[x^2 y^{\prime \prime} +axy^{\prime}+by=0\]

と表される微分方程式です。オイラーの微分方程式とも。分類としては、変数係数の2階線形微分方程式となります。

変数係数の方程式では、解を求める一般的な方法はありません。しかしこの方程式では、次のようにして特殊解を求めることができます。

\(y=x^{\lambda}\)という形の解を考えましょう。方程式に代入すれば、

\[x^2 \lambda (\lambda-1)x^{\lambda -2}+a x \lambda x^{\lambda -1}+bx^{\lambda}\\ =(\lambda ^2 +(a-1)\lambda +b)x^{\lambda}\\ =0\]

となるので、

\[\lambda ^2 +(a-1)\lambda +b=0\]

を解くことで、\(y(x) =x^{\lambda}\)という解が見つけられます。

必要に応じて定数変化法を用いることで、オイラー・コーシー方程式の一般解を見つけられます。

 

結果としては、上の方程式(特性方程式)の解のようすによって、次のような解が得られます。

\(\lambda _1, \lambda_2\)が異なる実数のとき

\[y=C_1 x^{\lambda_1}+C_2 x^{\lambda_2}\]

 

重解のとき\(\lambda _1 =\lambda_2\)

\[y=C_1 x^{\lambda}+C_2 x^{\lambda}\log x \]

 

共役な複素数解のとき\(\lambda =a\pm bi\)

\[y=x^{a}(C_1\cos (b\log x)+ C_2\sin (b\log x))\]

 

例として、

\[ r^2 G^{\prime \prime} +2rG^{\prime} -n(n+1)G=0\]

というオイラー・コーシー方程式を解いてみましょう。この形は、球座標におけるラプラス方程式の境界値問題を解く中で現れます。

\(G(r)=r^{\lambda}\)と表される解について考えると、

\[\lambda ^2+\lambda -n(n+1)=0 \]

という方程式が得られます。その解は、\(\lambda =n,-n-1\)です。したがって、

\[G(r)= C_1 r^n +C_2 \frac{1}{r^{n+1}}\]

という一般解が得られました。

 

以上、オイラー・コーシーの微分方程式の解き方、例を紹介してきました。

変数係数の方程式を解くのは難しいですが、この方程式ではべき乗関数の形を仮定することで、簡単に解を表すことができます。特殊解を探すというアイデアは大事ですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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