フーリエ係数に関するオイラーの公式の導出

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、フーリエ係数に関するオイラーの公式とは何か、その導出を紹介します。

 

フーリエ級数に関するオイラーの公式

区間\([-\pi,\pi]\)において周期的な関数\(f\)のフーリエ級数展開

\[f(x)=a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx +b_n \sin nx)\]

としましょう。そのフーリエ係数は関数\(f\)によって決定され、

\[a_0=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx\]

\[a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nxdx\]

\[b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx\]

と表されます。これはフーリエ係数に関するオイラーの公式(Euler’s formula)と呼ばれるものです。複素指数関数に関するオイラーの公式とは別物なので注意。

\(a_0\)についてはもうひとつの表記法があり、

\[f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx +b_n \sin nx)\]

とあらかじめ\(1/2\)を組み込んでおくことで、

\[a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nxdx\]

を\(n=0\)のケースで成り立つ式として捉えることができます。

 

オイラーの公式の導出

では、フーリエ係数に関するオイラーの公式を導出していきましょう。

重要なのは、三角関数系\(\{1 ,\cos nx, \sin nx\}_{n=1}^\infty\)が、積分によって定まる内積について直交していることです。

\begin{eqnarray} \langle \cos kx , \cos \ell x\rangle&=& \int _{-\pi}^{\pi} \cos kx \cos \ell x dx\\  &=& 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \langle \sin kx , \sin \ell x\rangle&=& \int _{-\pi}^{\pi} \sin kx \sin \ell x dx\\ \\ &=& 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \langle \cos kx , \sin \ell x\rangle&=& \int _{-\pi}^{\pi} \cos kx \sin \ell x dx\\&=& 0 \end{eqnarray}

これらは計算して確かめられますが、直交性は基本的で覚えて良い結果だと思います。

参考:三角関数の直交性とは:フーリエ級数展開と関数空間の内積

 

フーリエ級数展開

\[f(x)=a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx +b_n \sin nx)\]

において、\(\{1 ,\cos nx, \sin nx\}_{n=1}^\infty\)のいずれかひとつとの内積を取ることで、係数を求めてみましょう。

まずは定数関数\(1\)との内積を取ると、内積の線形性から和や積と積分の順序を交換できて、

\[\begin{eqnarray} &&\int_{-\pi}^\pi f(x)dx \\&=& \langle f,1\rangle \\ &=& \langle a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx +b_n \sin nx) ,1\rangle\\ &=&\langle a_0,1\rangle +\sum_{n=1}^\infty (a_n\langle \cos nx,1\rangle+b_n\langle \sin nx,1\rangle)\\ &=& \langle a_0,1\rangle \\&=& a_0 \int _{-\pi }^{\pi} 1dx \\&=& 2\pi a_0 \end{eqnarray}\]

となるので、

\[a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx \]

がわかりました。内積を取った関数の成分以外はすべて直交しているので、結果として\(f\)の定数関数の成分\(a_0\)だけが取り出されます。

続いて、\(\cos kx\)との内積を取りましょう(級数の添字\(n\)と\(k\)が混ざらないように注意)。

\[\begin{eqnarray} &&\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos kx dx \\&=& \langle f,\cos kx\rangle \\ &=& \langle a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx +b_n \sin nx) ,\cos kx\rangle\\ &=&\langle a_0,\cos kx \rangle +\sum_{n=1}^\infty (a_n\langle \cos nx,\cos kx\rangle+b_n\langle \sin nx,\cos kx\rangle)\\  &=& a_k \langle \cos kx ,\cos kx\rangle\\ &=& a_k \int _{-\pi }^{\pi} (\cos kx)^2dx \\&=& \frac{a_k}{2}\int _{-\pi}^{\pi} (\cos 2k x +1) dx \\ &=& \frac{a_k}{2}[\frac{1}{2k}\sin 2kx +x]_{-\pi} ^\pi\\ &=& a_k\pi\end{eqnarray}\]

なので、

\[a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx \]

となります。

再び同様にして、\(\sin kx\)との内積を取ると

\[\begin{eqnarray} &&\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin kx dx \\&=& \langle f,\sin kx\rangle \\ &=& \langle a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx +b_n \sin nx) ,\sin kx\rangle\\ &=&\langle a_0,\sin kx \rangle +\sum_{n=1}^\infty (a_n\langle \cos nx,\sin kx\rangle+b_n\langle \sin nx,\sin kx\rangle)\\  &=& a_k \langle \sin kx ,\sin kx\rangle\\ &=& b_k \int _{-\pi }^{\pi} (\sin kx)^2dx \\&=& \frac{b_k}{2}\int _{-\pi}^{\pi} (-\cos 2k x +1) dx \\ &=& \frac{b_k}{2}[-\frac{1}{2k}\sin 2kx +x]_{-\pi} ^\pi\\ &=& b_k\pi\end{eqnarray}\]

なので、

\[b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx dx \]

となりました。

 

内積を取る時、最後の計算で\(2\pi ,\pi\)といった係数が出てくるのは、少し面倒です。これを考慮して、正規化した三角関数系\(\frac{1}{2\pi}, \frac{1}{\pi} \cos nx , \frac{1}{\pi}\sin nx\)を考えることもあるでしょう。これらを使えば、

\[\langle f, \frac{1}{2\pi}\rangle =a_0\]

\[\langle f, \frac{1}{\pi} \cos n x \rangle= a_n\]

\[\langle f, \frac{1}{\pi} \sin nx \rangle= b_n\]

といったシンプルな表示式が得られます。結果は全く同じですが。

 

一般的な周期\(2L\)のオイラーの公式

ここまでは区間を\([-\pi,\pi]\)で考えてきましたが、\([-L,L]\)(\(L>0\))において周期的な関数\(f\)に対して、オイラーの公式を一般化することができます。

\[a_0=\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)dx\]

\[a_n=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}dx\]

\[b_n=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L}f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx\]

となります。

\([-\pi,\pi]\)での公式において、\(y= \frac{L}{\pi}x\)と変数変換します。すると、積分範囲は\([-L,L]\)に対応し、\(dx= \frac{\pi}{L}dy\)となるので、積分の分母の係数が\(\pi\)から\(L\)に置き換わった結果になりますね。

周期を\(L\)にするために、\([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]\)という区間を考えることもあるでしょう。そのときは、上の式の\(L\)が\(\frac{L}{2}\)に置き換わるので、

\[a_0=\frac{1}{L} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} f(x)dx\]

\[a_n=\frac{2}{L} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} f(x)\cos \frac{2n\pi x}{L}dx\]

\[b_n=\frac{2}{L} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \sin \frac{2n\pi x}{L} dx\]

となります。

 

以上、フーリエ係数に関するオイラーの公式の導出を紹介してきました。

積分による内積の表記や、三角関数の直交性といった概念を計算に活用することで、係数の公式は簡単に導けます。文章によって表記の違いはあるかもしれませんが、基本的な理屈がわかれば覚えやすいでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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