三角波とは：フーリエ級数展開の求め方

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、三角波とは何か、そのフーリエ級数展開の求め方を紹介します。

三角波とは
フーリエ級数展開の求め方
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三角波とは

三角波（triangle wave）とは、次の図のように、三角形の形が繰り返す波のことです。三角関数のなす波とは別物なので注意。

数学的には

\[ \begin{aligned}f(x)= \begin{cases}2x & (0 <x <\frac{\pi}{2} )\\-2(x-\pi) & (\frac{\pi}{2}<x <\pi)\end{cases}\end{aligned} \]

という関数を、奇関数として（\(f(x)=-f(x)\)を満たすように）、周期\(2\pi\)で周期的に拡張した（\(f(x)= f(x+2n\pi)\)）ものです。

一本の関数として表すならば、

\[ \begin{aligned}f(x)= 4\pi | \frac{x+\frac{\pi}{2}}{2\pi} – \lfloor \frac{x+\frac{\pi}{2}}{2\pi}\rfloor| – \pi\end{aligned} \]

です。ここで、\(\lfloor x\rfloor\)は床関数（\(x\)以下の最大の整数）を表しています。おおざっぱに言えば、のこぎり波を絶対値を取ることで三角波に変えています。その後、シフト（平行移動）や係数の調整を行ったものです。

音として三角波を聞いてみると、サイン波に近くノイズの少ない音と感じられます。

フーリエ級数展開の求め方

では、三角波のフーリエ級数展開を求めてみましょう。

今回は奇関数となるように設定したので、奇関数のフーリエ級数展開、係数は次のよう単純化されます。

\[ \begin{aligned}f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x) \sin nx dx\end{aligned} \]

これを計算してみましょう。途中でたくさんのキャンセルが起こります。

\[ \begin{aligned} &b_n\\ &= \frac{2}{\pi}(\int_0^\frac{\pi}{2} 2x \sin nx dx+\int_\frac{\pi}{2}^\pi (-2(x-\pi) ) \sin nx dx) \\ &= \frac{2}{\pi}([-\frac{2}{n} x \cos nx]_0^\frac{\pi}{2} +\frac{2}{n} \int_0^\frac{\pi}{2} \cos nx dx \\ &+ [\frac{2}{n} x\cos nx]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}-\frac{2}{n} \int_\frac{\pi}{2}^\pi \cos nx dx \\ & -\frac{2\pi}{n}[\cos nx]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi})\\ &=\frac{2}{\pi}(\frac{2}{n^2} [\sin nx]_0 ^\frac{\pi}{2} -\frac{2}{n^2} [\sin nx]_\frac{\pi}{2}^{\pi}) \\ &= \frac{8}{n^2\pi} \sin \frac{n\pi}{2} \\ &= \begin{cases}\frac{8}{n^2\pi} & (nが奇数かつ4で割ったあまりが1)\\ -\frac{8}{n^2\pi} & (nが奇数かつ4で割ったあまりが3)\\0 & (nが偶数)\end{cases}\end{aligned} \]

となりました。

フーリエ係数、各周波数に対する\(\sin nx\)の強さ・振幅、すなわちスペクトルは次の通りです。

係数は\(1/n^2\)のペースで急激に小さくなっていきます。\(b_1\)、すなわち\(\sin x\)の成分が強く含まれていることがわかりますね。

三角波のフーリエ級数展開は、次のようになりました。

\[ \begin{aligned}f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{8}{n^2\pi} \sin \frac{n\pi}{2} \sin nx\\ = \frac{8}{\pi}\sin x -\frac{8}{9\pi}\sin 3x +\frac{8}{25 \pi} \sin 5x – \cdots\end{aligned} \]