のこぎり波とは:フーリエ級数展開の求め方

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、のこぎり波とは何か、フーリエ級数展開の求め方を紹介します。

 

のこぎり波とは

のこぎり波(sawtooth wave)は、のこぎりのようにギザギザとした次の図のような波です。

数学的には、

\[f(x)= x\quad  (-\pi < x <\pi)\]

を周期\(2\pi\)の関数として周期的に拡張(\(f(x)=f(x+2n\pi)\))したものです。より明示的には、

\[f(x)=x-2\pi \lfloor \frac{x}{2\pi}+\frac{1}{2}\rfloor\]

と定義できます。ここで\(\lfloor x\rfloor\)は床関数(整数部分)です。

中身に注目すると、\(x= -\pi\)で\(\lfloor \frac{-\pi}{2\pi}+\frac{1}{2}\rfloor=0\)、\(x=\pi\)で\(\lfloor \frac{-\pi}{2\pi}+\frac{1}{2}\rfloor=1\)となっています。これにその周期における変化分\(2\pi\)をかけることで、周期\(2\pi\)ごとに値が\(2\pi\)だけ落ちる不連続な関数が作り出せています。

音として聞いてみるのも良いでしょう。矩形波と比べると、警告音・ビープ音というのか、濁った感じがします。

 

フーリエ級数展開の求め方

では、のこぎり波のフーリエ級数展開を求めてみましょう。

のこぎり波は奇関数なので、そのフーリエ級数展開は次のように簡単になります

\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin nx\]

\[b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x) \sin nx dx\]

これを計算してみましょう。部分積分によって、

\[\begin{eqnarray} b_n &=& \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x \sin nx dx \\ &=&\frac{2}{\pi}([-\frac{1}{n}x\cos nx]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_0^\pi \cos nx dx)\\ &=&\frac{2}{\pi}(-\frac{\pi}{n}\cos n\pi+\frac{1}{n}[\frac{1}{n}\sin nx]_0 ^\pi)\\ &=& -\frac{2}{n}\cos n\pi \\&=&  (-1)^{n-1}\frac{2}{n}\end{eqnarray}\]

と求められます。

フーリエ係数の分布、各周波数での三角関数\(\sin nx\)の成分の強さ・振幅を、スペクトルとして図示すると次のようになります。

符号は正負に交代しながら、大きさは\(1/n\)で段々と小さくなっていきますね。

のこぎり波のフーリエ級数展開は次のようになりました。

\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{2}{n} \sin nx\\ = 2\sin x -\sin 2x + \frac{2}{3 }\sin 3x – \cdots\]

項数を増やすにつれ、きちんとのこぎり波に近づいていくのが見て取れます。

\(x= -\pi,\pi\)といった不連続点付近では、フーリエ級数にはトゲのようなものが見られ、これはギブス現象と呼ばれるものです。

フーリエ級数の不連続点での値は、元の関数の右極限と左極限の平均値、今回ならば\(\frac{-\pi +\pi}{2}=0\)に収束することが知られています。グラフともマッチしていますね。

 

以上、のこぎり波とは何か、そのフーリエ級数展開の求め方を紹介してきました。

矩形波に次いでシンプルな計算ができる関数なので、ぜひ自分でも計算してみてください。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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