複素数の複素数乗、べき乗・指数関数の主値とは何か、計算例

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、複素数の複素数乗、べき乗・指数関数の主値とは何か、計算例を交えて紹介します。

前提知識:複素対数関数の主値Log zとは、計算例

 

複素対数関数、主値とは

実数の一般的なべき乗・指数関数の定義を思い出すと、\(a^{x}:= e^{(\log_e a) x}\)でした。

ここから類推して、複素数\(a,z\)に対して、

\[a^{z}:= e^{(\log_e a) z}\]

と定義したいのですが、少し注意点があります。

 

それは、複素対数関数は、一般には多価関数となってしまうことです。

例えば、\(e^{z}=1\)という方程式には、\(z=0,2\pi i, -2\pi i\)など無数の解があります。素朴に考えると、\(\log 1 =0, 2\pi i, -2\pi i\)と複数の値を取ることになってしまい、\(1^z= e^{0z},e^{2\pi iz},e^{-2\pi iz}\)とべき乗も多価関数になっています。

これでは通常の関数(一価関数)として扱えず不便です。そこで、対数関数の主値

\[\mathrm{Log\,} z := \log |z| + \theta i\\ -\pi<\theta \leq \pi\]

を利用しましょう。\(\theta\)は\(z\)の偏角の主値です\(\theta = \mathrm{Arg\,}z\)。これは一価関数なので、

\[a^{z}:= e^{(\mathrm{Log \,} a) z}\]

も一価関数として定義できます。これを複素数のべき乗と呼びます。

 

練習として、複素数のべき乗をいくつか計算してみましょう。

複素数の無理数乗として、\(i^e\)はどんな値でしょうか。\(i\)の絶対値は\(1\)、偏角の主値は\(\frac{\pi}{2}\)です。したがって、

\[\mathrm{Log \,} i = \log |1| +\frac{\pi}{2} i \\ =\frac{\pi}{2} i\]

なので、べき乗の定義から

\[i^{e} = e^{(\mathrm{Log \,} i ) e}\\ = e^{\frac{\pi e}{2} i} \\ = \cos (\frac{\pi e}{2}) + i \sin \frac{\pi e}{2}\]

と求められました。

 

実数の複素数乗として、\(1^{i}\)はどんな値でしょうか。

\[\mathrm{Log\,}1 = \log 1 =0\]

なので、

\[1^{i} = e^{0 i} \\= e^{0}=1\]

となりました。複素数乗であっても、\(1^{z}=1\)は常に成り立つわけですね。

 

複素数の複素数乗として、\(i^{i}\)はどんな値でしょうか。

\[\mathrm{Log \,} i = \log |1| +\frac{\pi}{2} i \\ =\frac{\pi}{2} i\]

なので、

\[i^{i}= e^{(\frac{\pi}{2} i)i}\\ = e^{-\frac{\pi}{2}}\]

となりました。これは複素数乗の複素数乗が実数になる例として有名です。

 

この例を少し一般化すれば、\((e^{i\theta}) ^{i}\)、\(- \pi<\theta \leq\pi\)は実数です。

\[\mathrm{Log \,} e^{i \theta}= \log |1| +\theta i \\ =\theta i\]

\[(e^{i\theta}) ^{i} = e^{\theta i ^2} = e^{- \theta}\]

となるので。

 

以上、複素数の複素数乗、べき乗の主値とは何か、計算例を交えて紹介してきました。

\(i^{i}\)という文字だけを見ると、一体何を計算すれば良いかわからなくなるかもしれませんが、べき乗の定義\(a^{z}:= e^{(\mathrm{Log \,} a) z}\)を思い出すことが大事です。この定義に遡れば、対数関数の主値を利用しているという注意点にも気づくことでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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