なぜ重積分を学ぶ? 熱伝導方程式の導出を例に

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

大学1年の微積分学では、多変数関数の積分、つまり重積分を学ぶかと思います。

重積分の定義や計算手法を学ぶ前に、「なぜ重積分をするのか?」を知りたいですよね(僕は知りたいです笑)。

というわけで、今回は熱伝導方程式の導出を例に、重積分がどのように登場するかを紹介します。(式の意味は全部わからなくて大丈夫!)

先に偏微分の話を知っておくと読みやすいです:なぜ偏微分を学ぶ? フーリエの熱伝導方程式を例に

 

熱伝導方程式とは

熱伝導方程式とは、空間に熱が伝わっていくようすを説明する方程式です。

\[\frac{\partial u}{\partial t}= \Delta u\]

未知関数\(u(x,t)\)は、温度を表す関数です。左辺は時間変化を表す時間項、右辺は熱の拡散を表す拡散項と呼ばれます。

この方程式は、細かい物質の拡散を説明できるため、拡散方程式とも呼ばれます。

このサイトでもすでに何度か紹介しました:なぜ偏微分を学ぶ? フーリエの熱伝導方程式を例に花粉の広がりを数式で予測する、拡散方程式とは

 

なぜ、熱方程式はこのような形をしているのでしょうか?

今回は、「熱は熱いところから冷たいところへ流れる」というフーリエの法則から、重積分を使って熱方程式を導いてみたいと思います。

 

1次元での熱伝導方程式の導出

いきなり重積分を扱うのは難しいので、まずは空間1次元の場合を考えてみましょう。細い針金がイメージです。

針金の外部とは熱のやりとりをしない状況、針金の内部での熱の動きを考えます。内部を区間\(I=(a,b)\)としましょう。

区間の境界における熱のやりとりは、フーリエの法則によって説明されます。

熱の流れ、単位時間に単位面積を流れる熱量を、流束(フラックス、flux)と呼びます(単位は\(\mathrm{J/m\cdot s}\))。

フーリエの法則は、流束\(F(x,t)\)が温度勾配に比例するという法則です。比例定数\(k>0\)は熱伝導率と呼ばれます。

\[F(x,t)=-k\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\]

単位時間あたりの熱の出入りの合計は

\[F(a,t)-F(b,t)\]

です。一方で、区間\(I\)に蓄えられている熱量を計算すると

\[J(t)=C\int _a ^b u(x,t)dx\]

です。ここで\(C>0\)は熱容量と呼ばれる、針金の材質や太さに依存した定数です。(高校物理では\(Q=C\Delta T\)と書かれる式ですね。)

そしてその時間あたりの変化は、\(t\)に関する微分をすれば

\[\begin{eqnarray}\frac{dJ(t)}{dt} &=& C\frac{d}{dt}(\int _a ^b u(x,t)dx) \\ &=& C\int _a ^b \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}dx\end{eqnarray}\]

となります(微分と積分の順序交換)。

熱量保存の法則により、蓄えられている熱量の時間変化は、出入りする熱量の時間変化に等しいです。つまり、

\[\frac{dJ(t)}{dt} = F(a,t)-F(b,t)\]

これを整理すると

\[\begin{eqnarray}C\int _a ^b \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}dx &=& -k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x} \\ &=& k\int^b _a \frac{\partial ^2u(x,t)}{\partial x^2}dx \end{eqnarray}\]

となります(微積分学の基本定理によって、境界の情報が積分で表せる)。

この等式が区間\(I=(a,b)\)の選び方によらずに成立するためには、積分の中身が常に等しくなければなりません。つまり、

\[C\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=k \frac{\partial ^2 u(x,t)}{\partial x^2}\]

\(t\mapsto Ct,x\mapsto\sqrt {k}x\)と変数変換し、\(\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=\Delta u\)と書き直せば、

\[\frac{\partial u}{\partial t}= \Delta u\]

熱方程式が得られました。

 

多次元での熱伝導方程式の導出

さて、1次元での議論を、2次元、3次元、多次元\(N\)次元での議論に展開してみましょう。ここで重積分が登場します。

領域\(V\subset \mathbb{R}^N\)における熱の出入りを考えてみましょう。\(x=(x_1,\dots,x_N)\in \mathbb{R}^N\)と表されます。

領域\(V\)に蓄えられている熱量は、\(u(x,t)\)の総和に熱容量\(C\)をかけたものです。これが重積分を使って

\[J(t)=C\int_V u(x,t)dx\]

と表せます。積分区間\(I\)が積分範囲\(V\)に変わっただけですね。その時間変化は、さきほどと同様に

\[\frac{dJ(t)}{dt}= C\int _a ^b \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}dx\]

です。

境界における熱の出入りを考えましょう。流束は、熱の流れる方向、量によって決まるベクトルとなります。そしてフーリエの法則により

\[F(x,t)=-k\nabla u\]

と与えられます。ここで\(\nabla\)(ナブラ)は勾配作用素と呼ばれ

\[\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial u}{\partial x_N})^T \]

です。

境界からの単位時間あたりの熱の出入りを計算しましょう。さきほどは\(F(a,t)-F(b,t)\)とシンプルでしたが、もう少し複雑になります。

\(V\)の境界\(\partial V\)を通しての熱の出入りは、\(F\cdot \nu\)の\(\partial V\)上の積分によって与えられます。

ここで\(\nu\)は\(\partial V\)の単位法線ベクトル(境界面に対して垂直な大きさ1のベクトル)です。単に\(F\)でなく\(F\cdot \nu\)を考えるのは、境界面に垂直な方向の流束の影響のみを考えたいからですね。

したがって、熱の出入りは

\[\int_{\partial V} F\cdot \nu dS =k \int_{\partial V} \nabla u(x,t)\cdot \nu dS\]

となります(正負の符号に注意、流束は熱が領域に入る方向を基準としている)。熱量保存の法則により、

\[ C\int _a ^b \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}dx =-k \int_{\partial V} \nabla u(x,t)\cdot \nu dS \]

となるわけですが、右辺にガウスの定理と呼ばれる定理をあてはめると

\[\begin{eqnarray} -k \int_{\partial V} \nabla u(x,t)\cdot \nu dS &=& -k \int_V \mathrm{div}( \nabla u) dx \\ && -k \int_V \Delta udx\end{eqnarray}\]

となるので、

\[ C\int _V \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}dx =-k \int_V \Delta udx\]

これが領域\(V\)の選び方によらず常に成立しているためには、積分する関数が常に等しくなければならない。よって、1次元のときと同様の議論で、

\[\frac{\partial u}{\partial t}= \Delta u\]

が得られました。

 

なぜ重積分を学ぶのか。

熱伝導方程式の導出を例として考えればわかりやすいです。ある領域における熱の総量や出入りを考えるときに、そこで熱量という関数の積分を考える必要があるからです。

今回は、微分によって表されるフーリエの法則と熱量保存の法則、重積分の計算によって、熱方程式を導いてみました

導出の後半では、ガウスの定理を使いました。これは大学1年の微積分学で習う重要な定理のひとつです。

\[ \int_{\partial V} \nabla F\cdot \nu dS =  \int_V \mathrm{div}F dx \]

境界における積分は内部における発散(divergence)の積分として表せることから、発散定理とも呼ばれます。

ガウスの定理は、じつは1次元のときの微積分学の基本定理の一般化です。2次元のときは、グリーンの定理とも呼ばれます。

\[ [F(x)]^b _a =  \int_a ^b \frac{dF}{dx} dx \]

今回の話を知っておけば、重積分の定義や計算手法、発散定理の話も理解しやすくなるかと思います。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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