フロベニウスの方法：次数0の第二種ベッセル関数の求め方

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、フロベニウスの方法について、次数0の第二種ベッセル関数の求め方を例に紹介します。

フロベニウスの方法とは
ベッセル方程式の解き方、第二種ベッセル関数
こちらもおすすめ

フロベニウスの方法とは

フロベニウスの方法（Frobenius’s method）とは、係数に特異性のある線形微分方程式の解を得る方法です。

\(b(x),c(x)\)を\(x=0\)において解析的とする。

\[ \begin{aligned} y^{\prime \prime}+\frac{b(x)}{x}y^{\prime} +(1- \frac{c(x)}{x^2})y =0\end{aligned} \]

と表される方程式は、

\[ \begin{aligned}y(x)=x^r \sum_{k=0}^\infty a_k x^k\end{aligned} \]

と表される解を少なくともひとつ持つ。

（もうひとつの解は、これと似た形で見つかる。）

これをベッセル方程式（Bessel’s equation）にあてはめると、

\[ \begin{aligned}x^2 y^{\prime \prime}+xy^{\prime} +(x^2-\nu ^2)y =0\end{aligned} \]

第一種ベッセル関数\(J_n\)という解が得られます。

\[ \begin{aligned}J_n(x)= \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^\ell }{2^{2\ell+n} \ell! (n+\ell)!} x^{2\ell +n }\end{aligned} \]

2階の線形微分方程式には、基本解（線形独立な）が2つ存在します。その一方は第一種ベッセル関数であるわけですが、もうひとつの解、第二種ベッセル関数を見つけましょう。

（次数が非整数のときは、第一種ベッセル関数\(J_\nu , J _{-\nu}\)は線形独立。次数が整数のとき、それらが線形独立でないので、第二種ベッセル関数を見つける必要があります。）

今回は簡単のため、\(\nu =0\)のケースを考えます。解が級数の形\(y(x)= \sum_{k=0}^\infty x^{k+r}\)と仮定して得られる次数\(r\)に関する方程式

\[ \begin{aligned} (r+\nu) (r-\nu)=0\end{aligned} \]

は決定方程式（indicial equation）と呼ばれました。

\(\nu =0\)のときは決定方程式は重解を持ち、そのときは次の形の解が見つかることが知られています。

決定方程式が重解\(r=r_1=r_2\)のときのフロベニウスの方法

\(y_1(x)= \sum_{k=0}^\infty x^{k+r}\)をひとつ解として、もうひとつの解は

\[ \begin{aligned}y_2(x)= y_1 (x) \log x +\sum _{k=1}^\infty b_k x^{k+r}\end{aligned} \]

と表せる。ただし、\(x \neq 0\)。

ベッセル方程式の解き方、第二種ベッセル関数

\(\nu =0\)のときのベッセル方程式

\[ \begin{aligned}x^2 y^{\prime \prime}+xy^{\prime} +x^2y =0\end{aligned} \]

をフロベニウスの方法で解いてみましょう。決定方程式の解は\(r=0\)で重解、ひとつの解は\(y_1(x)=J_0(x)\)です。もうひとつの解は

\[ \begin{aligned}y_2 (x)= J_0(x) \log x+\sum _{k=1}^\infty b_k x^{k} \end{aligned} \]

と表されます。方程式に代入し、係数\(b_k\)を求めていきましょう。

その微分は

\[ \begin{aligned}y_2^\prime = J_0 ^\prime \log x +\frac{J_0 }{x}+\sum_{k=1}^\infty k b_k x^{k-1}\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}y_2^{\prime\prime}= J_0^{\prime \prime} \log x +\frac{2J_0 ^{\prime}}{x}- \frac{J_0}{x^2}\\+ \sum_{k=1}^\infty k (k-1)b_k x^{k-2}\end{aligned} \]

となります。これを方程式に代入します。

\(\log\)のついた項に注目すると、\(J_0\)は解なので、

\[ \begin{aligned}(x^2 J_0^{\prime \prime} +xJ_0^\prime +J_0)\log x\\ =0\end{aligned} \]

となります。この結果が得られるように、\(\log\)の項を仮定したわけですね。

また、\(\frac{J_0 }{x}\)と\(- \frac{J_0}{x^2}\)の項も、足して0になります。よって、残る項は

\[ \begin{aligned}2J_0^\prime x + \sum_{k=1}^\infty k (k-1)b_k x^{k}\\+\sum_{k=1}^\infty k b_k x^{k}+\sum _{k=1}^\infty b_k x^{k+2}=0\end{aligned} \]

です。

\[ \begin{aligned}J_0(x)= \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^\ell }{2^{2\ell} \ell! (\ell)!} x^{2\ell }\end{aligned} \]

の微分を計算すると、

\[ \begin{aligned}J_0^\prime (x)= \sum_{\ell=1}^\infty \frac{(-1)^\ell 2\ell }{2^{2\ell} \ell! (\ell)!} x^{2\ell -1 }\\= \sum_{\ell=1}^\infty \frac{(-1)^\ell }{2^{2\ell-1} \ell! (\ell -1)!} x^{2\ell -1 } \end{aligned} \]

です。これを方程式に戻して整理すれば、

\[ \begin{aligned} \sum_{\ell=1}^\infty \frac{(-1)^\ell }{2^{2\ell-2} \ell! (\ell -1)!} x^{2\ell } \\ + \sum_{k=1}^\infty k^2 b_k x^{k}+ \sum _{k=1}^\infty b_k x^{k+2} \\ =0\end{aligned} \]

となります（最初の項の係数に注意）。係数を比較しましょう。

\(x^1\)の項を見ると、\( b_1 =0\)です。また、奇数次数、\(k= 2\ell +1\)のとき、

\[ \begin{aligned}(2\ell +1)^2 b_{2\ell+1}+b_{2\ell -1}=0\end{aligned} \]

となります。\(b_1=0\)であることから、\(b_{2\ell+1}=0\)となって奇数次の係数はすべて消えます。

偶数次数\(k=2\ell\)のときの係数を比較すると、

\[ \begin{aligned} \frac{(-1)^\ell }{2^{2\ell-2} \ell! (\ell -1)!} +4\ell^2 b_{2\ell}+b_{2\ell-2}=0\end{aligned} \]

です。ただし、\(\ell=1\)のときは最後の項はなく、

\[ \begin{aligned}\frac{(-1)^1 }{2^{0} 1! 0!} +4 b_{2}=0\end{aligned} \]

となって、\(b_2 = \frac{1}{4}\)がわかります。続く係数を計算しましょう。

\[ \begin{aligned}b_4 = \frac{1}{4 \cdot 2^2} (-b_2+\frac{(-1)^{2-1} }{2^{2\cdot 2-2} 2! (2 -1)!} )\\ =\frac{(-1)}{ 2^4 \cdot 2! 2!}(1+\frac{1}{2}) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}b_6 = \frac{1}{4 \cdot 2^3} (-b_4+\frac{(-1)^{3-1} }{2^{2\cdot 3-2} 3! (3 -1)!} )\\ =\frac{(-1)^{3-1}}{ 2^6 \cdot 3! 3!}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}) \end{aligned} \]

で、一般には

\[ \begin{aligned}b_{2\ell} =\frac{(-1)^{\ell-1}}{ 2^{2\ell} (\ell!)^2}(1+\frac{1}{2}+\cdots + \frac{1}{\ell}) \end{aligned} \]

となります。

よって、解は

\[ \begin{aligned}y_2(x)= J_0 (x)\log x \\ +\sum_{\ell=1}^\infty \frac{(-1)^{\ell-1}}{ 2^{2\ell} (\ell!)^2}(1+\frac{1}{2}+\cdots + \frac{1}{\ell})x^{2\ell} \end{aligned} \]

と求められました。この級数は\(x \neq 0\)で収束します（レシオテスト）。

特に、次のように係数を少し調整した解が用いられることが多いです。て

\[ \begin{aligned}Y_0(x):= a(y_2 +bJ_0)\end{aligned} \]

\(a= \frac{2}{\pi}\)、\(b= \gamma- \log 2\)としましょう。\(\gamma\)はオイラーのガンマ定数で、\(\gamma =\lim_{\ell \to \infty}(1+\frac{1}{2}+\cdots + \frac{1}{\ell} -\log \ell)\)と定義されます。すると、

\[ \begin{aligned}Y_0(x)= \frac{2}{\pi}((J_0(x)(\log \frac{x}{2} +\gamma) \\+\sum_{\ell=1}^\infty \frac{(-1)^{\ell-1}}{ 2^{2\ell} (\ell!)^2}(1+\frac{1}{2}+\cdots + \frac{1}{\ell})x^{2\ell} )\end{aligned} \]

となりました。このベッセル方程式の解\(Y_0\)は、次数0の第二種ベッセル関数（Bessel function of the second kind）、ノイマン関数（Neumann’s function）と呼ばれます。