複素べき級数、収束半径とは:指数・三角関数を例に

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

複素解析におけるオイラーの公式\(e^{i\theta}= \cos \theta + i \sin \theta\)を理解するには、複素指数関数や三角関数といった関数がどのように定義されているのか知る必要があります。

そこで今回は、複素べき級数と収束半径について、初等関数を例に紹介します。

 

複素べき級数による定義

実数\(x\)を変数とする指数関数や三角関数は、テイラー展開することができました。

\[e^x =  \sum_{k=0} ^\infty \frac{1}{k!}x^k\]

\[\sin x =   \sum_{k=0} ^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\]

\[\cos x =   \sum_{k=0} ^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}\]

ある種の多項式関数の極限として、これらの関数を捉えることができました。

 

実変数で定義されたこれらの関数を、複素関数として拡張するにはどうしたら良いでしょうか? それが、複素べき級数を用いた定義です。

\[e^z :=  \sum_{k=0} ^\infty \frac{1}{k!}z^k\]

と複素指数関数\(e^ z\)を定義してしまうわけですね。実関数の性質をもって、複素関数バージョンの定義として採用しています。

一般に、係数\((a_k)_{k=0}^\infty\)を複素数として、

\[f(z )= \sum _{k=0} ^ \infty a_k z^k \]

複素べき級数(complex power series)と言います。

 

収束半径とは

複素べき級数は、すべての複素数\(z\in \mathbb{C}\)に対して、常に定まっているとは限りません。

例えば、\(\sum_{k=0}^ {\infty }z^k\)というべき級数は、\(|z|<1\)なら収束し、\(|z| >1\)なら発散しています。これを収束半径は\(r=1\)である、と言います。

 

一般に、べき級数\( \sum _{k=0} ^ \infty a_k z^k \)は、複素数平面のある大きさの円盤の内外で、収束の状況が分かれることが知られています。

べき級数が\(|z| < r\)で絶対収束し、\(|z| >r\)で絶対収束しないとき、その\(r>0\)をべき級数の収束半径(radius of convergence)と呼びます。

すべての\(z\)について絶対収束するときは、収束半径は無限大\(r= \infty\)と考えます。また、\(z=0\)でしか収束しないときは、収束半径は\(r=0\)と考えます。

ここでべき級数が絶対収束(converge absolutely)するとは、その中身を絶対値を取った実級数\( \sum _{k=0} ^ \infty |a_k z^k|\)が収束することです。

 

実級数の収束半径やその求め方については、すでに紹介しました。

参考:べき級数の収束半径とは何か、テイラー展開を例にした求め方

これと同様の定理が、複素べき級数についても成り立ちます。

レシオテスト、係数比判定法(ratio test)、ダランベールの判定法

複素べき級数\( \sum_{k=0} ^\infty a_k z^k\)を考える。係数の比の極限\(\lim_{k\to \infty}| \frac{a_{k+1}}{a_k }|\)が存在する、または\(\lim_{k\to \infty}| \frac{a_{k+1}}{a_k }|= \infty\)と仮定する

 

このとき、\(r:= \frac{1}{\lim_{k\to \infty}| \frac{a_{k+1}}{a_k}| }\)はべき級数の収束半径である。

ただし、\(\lim_{k\to \infty}| \frac{a_{k+1}}{a_k}|= \infty\)のときは\(r=0\)、\(\lim_{k\to \infty}| \frac{a_{k+1}}{a_k}|=0\)のときは\(r=\infty\)と考える。

 

レシオテストを用いると、次のべき級数による関数が定まっていることがわかります。

\[e^z :=  \sum_{k=0} ^\infty \frac{1}{k!}z^k\]

\[\sin z :=   \sum_{k=0} ^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}\]

\[\cos z :=   \sum_{k=0} ^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}\]

本来的には左辺は\(e^x\)といった実関数とは別物なのですが、同様の性質を持つので、記号を流用しています。

それぞれの係数比の絶対値は、

\[\frac{\frac{1}{(k+1)!}}{\frac{1}{k!}} =\frac{1}{k+1}\to 0\]

\[\frac{\frac{1}{(2k+3)!}}{\frac{1}{(2k+1)!}} =\frac{1}{(2k+2)(2k+3)}\to 0\]

\[\frac{\frac{1}{(2k+2)!}}{\frac{1}{(2k)!}} =\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}\to 0\]

なので、収束半径は\(r=\infty\)で、すべての\(z \in \mathbb{C}\)について定まっています。これらを複素指数関数、複素三角関数と呼びます。

同様にして、複素対数関数\(\log z\)、複素べき乗関数\(z^\alpha\)や、その逆関数といった、初等関数を考えることができます。

これらの複素指数関数\(e^z\)、三角関数\(\sin z\)などは、実指数関数\(e^x\)や実三角関数\(\sin x\)を「拡張」したものになっています。つまり、\(z= x\)(実数)であるとき、これらは一致しているわけです。複素の意味で微分可能な関数について、このような拡張は一意的であることが知られています。これは解析接続と呼ばれるもので、別記事で紹介予定。

 

以上、複素べき級数、収束半径とは何か、複素指数関数・三角関数を例に紹介してきました。

複素関数の正体を捉える基本的な方法が、複素べき級数です。指数関数や三角関数といった初等関数を考えるためにも、べき級数を用います。オイラーの公式には指数関数や三角関数が登場しますが、それがべき級数によって定義されていることを知っておきましょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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