連続関数とは：イプシロンデルタと開集合、閉集合による特徴づけ

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、連続関数とは何か、イプシロンデルタ式の定義や、開集合、閉集合を使ったよりシンプルな言い換えを紹介します。

連続関数の定義について
連続関数の特徴づけ
一般の連続写像とは
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連続関数の定義について

連続関数は、微積分学の基礎です。例えば、最大値の定理や中間値の定理、微分を考えるのにはまず連続性が前提になっています。また、（リーマン）積分を考えるときも、関数には連続性が要求されます。

では、連続関数とはなんでしょうか。ラフに言えば、グラフが切れ目なくつながっていること、と説明されます。

（これは、「連続な写像による連結な集合の像は連結である」という事実が背景にあるような言い方ですね。しかしそれは連続関数が持つ「性質」であり、定義ではありません。）

高校数学では、\(f\)が点\(a \in \mathbb{R}\)において連続であるとは、\(\lim _{x \to a} f(x) =f(a)\)と定義されます。これは極限であり、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく時、\(f(x)\)も\(f(a)\)に限りなく近づく、ということを表したものです。

大学数学では、この極限の定義がより詳しく定義されます。\(\lim _{x \to a} f(x) =f(a)\)とは、どんなに小さい数\(\varepsilon>0\)に対しても、次のような数\(\delta >0\)が存在する：すべての\(x\)に対し\(|x-a| < \delta \)ならば\(|f(x)-f(a)|< \varepsilon\)。

これはイプシロン-デルタ論法と呼ばれる定義です。「すべての～」「存在する」といった論理・証明に関する慣れが必要なことから、大学数学の学び始めのひとつの難所と言われます。

例えば、\(f(x)=0,(x<0)\)、\(f(x) =1 ,(x\geq 0)\)で定義される関数\(f\)が、\(0\)で連続でないことを、2通りに示してみましょう。

高校数学流：左側極限は\(\lim_{x \nearrow 0}f(x)=0\)で、右側極限は\(\lim_{x \searrow 0}f(x)=1\)で、両者が一致しないので、極限\(\lim_{x\to 0}f(x)\)は存在しない。したがって、連続ではない。

イプシロンデルタ：原点でギャップがあるので、それを示しましょう。\(\varepsilon = \frac{1}{2}\)とする。どんな\(\delta >0\)を考えても、\(|x- 0|< \delta\)を満たす点の中にギャップを生む点があります。具体的には、\(x = -\frac{\delta}{2}\)は、\(|x-0|< \delta\)を満たします。そして、\(|f(x)-f(0)|=1 > \varepsilon\)が成り立ちます。よって、連続ではない。

連続関数の特徴づけ

イプシロンデルタによる定義は、実際的ではあるものの、少し複雑な印象を受けます。

位相空間論では、連続関数・連続写像を、開集合、閉集合といった用語を用いてシンプルに捉え直すことができます。

\(X,Y\)を距離空間とする。関数\(f:X \to Y\)について、次の条件は同値である。

連続性：すべての\(a \in X\)に対し、\(\lim_{x \to a} f(x) =f(a)\)。
すべての\(a \in X\)、\(f(a)\)の\(Y\)における任意の近傍\(V\)に対し、\(f^{-1}(V)\)は\(X\)における\(a\)の近傍である。
点列連続性：すべての\(a \in X\)、すべての点列\((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\)に対し、\(\lim_{n\to \infty }x_n=a \)ならば、\(\lim_{n\to \infty}f(x_n) =f(a)\)。
\(Y\)の任意の開集合\(U\)に対し、\(f^{-1}(U)\)は\(X\)の開集合。
\(Y\)の任意の閉集合\(W\)に対し、\(f^{-1}(W)\)は\(X\)の閉集合。

一般に、部分集合\(B\subset Y\)に対し、\(f^{-1}(B) := \{x \in X \mid f(x) \in B\}\)で定まる集合を、\(f\)による\(B\)の逆像（inverse image, preimage）と言います。また、\(A \subset X\)が\(x \in X\)の近傍（neighbourhood）であるとは、\(B(x, \varepsilon )\subset A\)を満たす開球が存在することです（\(x\)が\(A\)の内点であること）。

（イプシロンデルタによる）関数の連続性は、以上のようにいくつかに言い換えられるわけです。2.行き先の点の「近く」の逆像は、行く前の点の「近く」になる。3.\(a\)に近づく点列\((x_n)\)があるなら、\(f(x_n)\)は\(f(a)\)に近づく。4.開集合の逆像は開集合。5.閉集合の逆像は閉集合。

この言い換えが何を言っているのか、具体的で簡単なケースについて見てみましょう。

\(f(x)=x^2\)とすると、\(f\)は\(\mathbb{R}\)から\(\mathbb{R}\)への連続関数です。

1.連続性。例えば\(\lim _{x\to 2} x^2 =2^2\)が成り立ちます。明らかですが、イプシロンデルタで確かめることもできます。

2.\(x=2\)に注目しましょう。\(f(2)=4\)の近傍として、\((3,5)\)を考えることができます。その逆像は、\(x^2\)が3以上5以下になる\(x\)の集まりで、\(f^{-1}((3,5))= (-\sqrt{5},-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3} ,\sqrt{5})\)です。これは開集合の和集合であるから開集合で、\(2 \in (\sqrt{3} ,\sqrt{5})\)なので、近傍の逆像がきちんと近傍になっていますね。

3. \(x_n = 2-\frac{1}{n}\)で定まる点列は、\(2\)に収束する点列です。すると、\(f(x_n)= 4- \frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\)であり、\(n\to \infty \)で\(f(x_n)\to 4\)になりますね。

4. \((0,1)\)という開集合を考えます。その逆像は、\(f^{-1}((0,1))=(-1,0)\cup (0,1)\)です。これは開集合の和集合で、開集合になっていますね。

5. \([2,4]\)という閉集合を考えます。その逆像は\(f^{-1}([2,4])=[-2,-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2},2]\)です。これは閉集合の和集合で、閉集合になっています。

ラフに説明しましょう。

イプシロンデルタ的な定義「どんなに小さい数\(\varepsilon>0\)に対しても、次のような数\(\delta >0\)が存在する：すべての\(x\)に対し\(|x-a| < \delta \)ならば\(|f(x)-f(a)|< \varepsilon\)。」は、次のようなことを言っているわけです。どんな（に小さい）\(f(a)\)の近傍\(B(f(a), \varepsilon)\)を考えても、\(a\)の近傍で\(B(a,\delta) \subset f^{-1}(B(f(a), \varepsilon))\)を満たすものが存在する、と。

\(f(x)\)のちょっとした変化に合わせて、その変化内におさまるような\(x\)の範囲が見つかるのが連続性です。こうした点の変化を集合の立場から見直したのが、近傍や開集合（と逆像）を使った言い方になります。

連続性は、点列連続性に言い換えることができます。そして、\(A\)が閉集合であることは一般に、\(A\)の点列\((x_n)\)が収束するならば極限は\(a \in A\)となる、収束について閉じていることと同値です。

証明について詳しくは、松坂「集合・位相入門」を参照。

一般の連続写像とは

ユークリッド空間、距離区間では、連続写像は上で述べたような性質を持つのでした。

距離を前提としない一般の空間、位相空間では、この性質をもって「連続写像」を定義します。

\(X,Y\)を位相空間、\(f:X \to Y\)を写像とする。

\(f\)が連続写像（continuous map）であるとは、「\(Y\)の任意の開集合\(U\)に対し、\(f^{-1}(U)\)は\(X\)の開集合」が成り立つこと。

これは閉集合に関する条件「\(Y\)の任意の閉集合\(W\)に対し、\(f^{-1}(W)\)は\(X\)の閉集合」と同値になります。

僕が位相空間論を学び始めの頃は、なぜ「逆像」を使って定義するのか疑問でした。実際、上で見たように、連続性とは「行き先の変化を受けて」考えるものではありましたが。

一般に、\(X\)の任意の開集合\(V\)に対し、像\(f(V)\)が開集合になるとき、\(f\)を開写像（open map）と言います。

連続写像と開写像は、一般には別物です。例えば、\(f(x)=x^2\)は連続写像ですが、開写像ではありません。\((-1,1)\)という開集合を考えれば、その像は\(f((-1,1))=[0,1)\)となり、開集合ではありません。

\(f\)が連続な全単射であり、かつ開写像でもある（逆関数\(f^{-1}\)も連続）とき、\(f\)は同相写像（homeomorphic map）と呼ばれます。同相写像は、2つの位相空間を同一視するための基本的な考え方で、図形を連続的に変形させる位相幾何学において重要です。（これについては別記事で。）

一般に、連続写像については、連結集合の像が連結になり、コンパクト集合の像がコンパクトになるという性質があります。

実は、ユークリッド空間においては、この逆の成り立つことが知られています。

ベルマンの定理（Velleman’s theorem）

\(f :\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N\)が連続写像であることは、「任意の連結集合の像が連結になり、任意のコンパクト集合の像がコンパクトになる」ことと同値である。

証明については、大田「はじめよう位相空間」を参照。

以上、連続関数とは何か、イプシロンデルタ式の定義、近傍や点列、開集合・閉集合による言い換えを紹介してきました。

少し飛ばし気味の議論で、位相空間論の話を知らないと、イプシロンデルタよりもわかりにくいと感じたかもしれません。

それでも、ただイプシロンデルタによる連続性の定義を覚えるだけでなく、位相空間論の話と関連付けて学ぶと、その概念に納得しやすいのではないか。という話でした。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。