連続関数とは:イプシロンデルタと開集合、閉集合による特徴づけ

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、連続関数とは何か、イプシロンデルタ式の定義や、開集合、閉集合を使ったよりシンプルな言い換えを紹介します。

 

連続関数の定義について

連続関数は、微積分学の基礎です。例えば、最大値の定理中間値の定理、微分を考えるのにはまず連続性が前提になっています。また、(リーマン)積分を考えるときも、関数には連続性が要求されます。

では、連続関数とはなんでしょうか。ラフに言えば、グラフが切れ目なくつながっていること、と説明されます。

(これは、「連続な写像による連結な集合の像は連結である」という事実が背景にあるような言い方ですね。しかしそれは連続関数が持つ「性質」であり、定義ではありません。)

高校数学では、\(f\)が点\(a \in \mathbb{R}\)において連続であるとは、\(\lim _{x \to a} f(x) =f(a)\)と定義されます。これは極限であり、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく時、\(f(x)\)も\(f(a)\)に限りなく近づく、ということを表したものです。

大学数学では、この極限の定義がより詳しく定義されます。\(\lim _{x \to a} f(x) =f(a)\)とは、どんなに小さい数\(\varepsilon>0\)に対しても、次のような数\(\delta >0\)が存在する:すべての\(x\)に対し\(|x-a| < \delta \)ならば\(|f(x)-f(a)|< \varepsilon\)。

これはイプシロン-デルタ論法と呼ばれる定義です。「すべての~」「存在する」といった論理・証明に関する慣れが必要なことから、大学数学の学び始めのひとつの難所と言われます。

 

例えば、\(f(x)=0,(x<0)\)、\(f(x) =1 ,(x\geq 0)\)で定義される関数\(f\)が、\(0\)で連続でないことを、2通りに示してみましょう。

高校数学流:左側極限は\(\lim_{x \nearrow 0}f(x)=0\)で、右側極限は\(\lim_{x \searrow 0}f(x)=1\)で、両者が一致しないので、極限\(\lim_{x\to 0}f(x)\)は存在しない。したがって、連続ではない。

イプシロンデルタ:原点でギャップがあるので、それを示しましょう。\(\varepsilon = \frac{1}{2}\)とする。どんな\(\delta >0\)を考えても、\(|x- 0|< \delta\)を満たす点の中にギャップを生む点があります。具体的には、\(x = -\frac{\delta}{2}\)は、\(|x-0|< \delta\)を満たします。そして、\(|f(x)-f(0)|=1 > \varepsilon\)が成り立ちます。よって、連続ではない。

 

連続関数の特徴づけ

イプシロンデルタによる定義は、実際的ではあるものの、少し複雑な印象を受けます。

位相空間論では、連続関数・連続写像を、開集合、閉集合といった用語を用いてシンプルに捉え直すことができます。

\(X,Y\)を距離空間とする。関数\(f:X \to Y\)について、次の条件は同値である。

  1. 連続性:すべての\(a \in X\)に対し、\(\lim_{x \to a} f(x) =f(a)\)。
  2. すべての\(a \in X\)、\(f(a)\)の\(Y\)における任意の近傍\(V\)に対し、\(f^{-1}(V)\)は\(X\)における\(a\)の近傍である。
  3. 点列連続性:すべての\(a \in X\)、すべての点列\((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\)に対し、\(\lim_{n\to \infty }x_n=a \)ならば、\(\lim_{n\to \infty}f(x_n) =f(a)\)。
  4. \(Y\)の任意の開集合\(U\)に対し、\(f^{-1}(U)\)は\(X\)の開集合。
  5. \(Y\)の任意の閉集合\(W\)に対し、\(f^{-1}(W)\)は\(X\)の閉集合。

一般に、部分集合\(B\subset Y\)に対し、\(f^{-1}(B) := \{x \in X \mid f(x) \in B\}\)で定まる集合を、\(f\)による\(B\)の逆像(inverse image, preimage)と言います。また、\(A \subset X\)が\(x \in X\)の近傍(neighbourhood)であるとは、\(B(x, \varepsilon )\subset A\)を満たす開球が存在することです(\(x\)が\(A\)の内点であること)。

(イプシロンデルタによる)関数の連続性は、以上のようにいくつかに言い換えられるわけです。2.行き先の点の「近く」の逆像は、行く前の点の「近く」になる。3.\(a\)に近づく点列\((x_n)\)があるなら、\(f(x_n)\)は\(f(a)\)に近づく。4.開集合の逆像は開集合。5.閉集合の逆像は閉集合。

 

この言い換えが何を言っているのか、具体的で簡単なケースについて見てみましょう。

\(f(x)=x^2\)とすると、\(f\)は\(\mathbb{R}\)から\(\mathbb{R}\)への連続関数です。

1.連続性。 例えば\(\lim _{x\to 2} x^2 =2^2\)が成り立ちます。明らかですが、イプシロンデルタで確かめることもできます。

2.\(x=2\)に注目しましょう。\(f(2)=4\)の近傍として、\((3,5)\)を考えることができます。その逆像は、\(x^2\)が3以上5以下になる\(x\)の集まりで、\(f^{-1}((3,5))= (-\sqrt{5},-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3} ,\sqrt{5})\)です。これは開集合の和集合であるから開集合で、\(2 \in (\sqrt{3} ,\sqrt{5})\)なので、近傍の逆像がきちんと近傍になっていますね。

3. \(x_n = 2-\frac{1}{n}\)で定まる点列は、\(2\)に収束する点列です。すると、\(f(x_n)= 4- \frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\)であり、\(n\to \infty \)で\(f(x_n)\to 4\)になりますね。

4. \((0,1)\)という開集合を考えます。その逆像は、\(f^{-1}((0,1))=(-1,0)\cup (0,1)\)です。これは開集合の和集合で、開集合になっていますね。

5. \([2,4]\)という閉集合を考えます。その逆像は\(f^{-1}([2,4])=[-2,-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2},2]\)です。これは閉集合の和集合で、閉集合になっています。

 

ラフに説明しましょう。

イプシロンデルタ的な定義「どんなに小さい数\(\varepsilon>0\)に対しても、次のような数\(\delta >0\)が存在する:すべての\(x\)に対し\(|x-a| < \delta \)ならば\(|f(x)-f(a)|< \varepsilon\)。」は、次のようなことを言っているわけです。どんな(に小さい)\(f(a)\)の近傍\(B(f(a), \varepsilon)\)を考えても、\(a\)の近傍で\(B(a,\delta) \subset f^{-1}(B(f(a), \varepsilon))\)を満たすものが存在する、と。

\(f(x)\)のちょっとした変化に合わせて、その変化内におさまるような\(x\)の範囲が見つかるのが連続性です。こうした点の変化を集合の立場から見直したのが、近傍や開集合(と逆像)を使った言い方になります。

連続性は、点列連続性に言い換えることができます。そして、\(A\)が閉集合であることは一般に、\(A\)の点列\((x_n)\)が収束するならば極限は\(a \in A\)となる、収束について閉じていることと同値です。

証明について詳しくは、松坂「集合・位相入門」を参照。

 

一般の連続写像とは

ユークリッド空間、距離区間では、連続写像は上で述べたような性質を持つのでした。

距離を前提としない一般の空間、位相空間では、この性質をもって「連続写像」を定義します。

\(X,Y\)を位相空間、\(f:X \to Y\)を写像とする。

\(f\)が連続写像(continuous map)であるとは、「\(Y\)の任意の開集合\(U\)に対し、\(f^{-1}(U)\)は\(X\)の開集合」が成り立つこと。

これは閉集合に関する条件「\(Y\)の任意の閉集合\(W\)に対し、\(f^{-1}(W)\)は\(X\)の閉集合」と同値になります。

 

僕が位相空間論を学び始めの頃は、なぜ「逆像」を使って定義するのか疑問でした。実際、上で見たように、連続性とは「行き先の変化を受けて」考えるものではありましたが。

一般に、\(X\)の任意の開集合\(V\)に対し、像\(f(V)\)が開集合になるとき、\(f\)を開写像(open map)と言います。

連続写像と開写像は、一般には別物です。例えば、\(f(x)=x^2\)は連続写像ですが、開写像ではありません。\((-1,1)\)という開集合を考えれば、その像は\(f((-1,1))=[0,1)\)となり、開集合ではありません。

\(f\)が連続な全単射であり、かつ開写像でもある(逆関数\(f^{-1}\)も連続)とき、\(f\)は同相写像(homeomorphic map)と呼ばれます。同相写像は、2つの位相空間を同一視するための基本的な考え方で、図形を連続的に変形させる位相幾何学において重要です。(これについては別記事で。)

 

一般に、連続写像については、連結集合の像が連結になりコンパクト集合の像がコンパクトになるという性質があります。

実は、ユークリッド空間においては、この逆の成り立つことが知られています。

ベルマンの定理(Velleman’s theorem)

\(f :\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N\)が連続写像であることは、「任意の連結集合の像が連結になり、任意のコンパクト集合の像がコンパクトになる」ことと同値である。

証明については、大田「はじめよう位相空間」を参照。

 

以上、連続関数とは何か、イプシロンデルタ式の定義、近傍や点列、開集合・閉集合による言い換えを紹介してきました。

少し飛ばし気味の議論で、位相空間論の話を知らないと、イプシロンデルタよりもわかりにくいと感じたかもしれません。

それでも、ただイプシロンデルタによる連続性の定義を覚えるだけでなく、位相空間論の話と関連付けて学ぶと、その概念に納得しやすいのではないか。という話でした。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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