フーリエ係数の減衰:リーマン・ルベーグの補題とは、証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、フーリエ係数の減衰について、リーマン・ルベーグの補題とは何か、その証明を紹介します。

 

フーリエ係数の減衰

フーリエ係数\(a_n,b_n\)は、\(n\to \infty\)としたときどうなるでしょうか。具体例を見てみましょう。

 

矩形波のフーリエ係数

\[a_n =0\]

\[\begin{eqnarray}b_n   &=& \begin{cases}\frac{4}{n\pi}& (nは奇数 )\\0 & (nは偶数)\end{cases} \end{eqnarray}\]

 

絶対サイン波のフーリエ係数

\[\begin{eqnarray} a_n &=& \begin{cases}-\frac{4}{ (n^2-1)\pi} & (nが偶数 )\\0 & (nが奇数)\end{cases}\end{eqnarray}\]

\[b_n=0\]

 

他にも、のこぎり波三角波でも、そのフーリエ係数は

\[\lim_{n\to \infty}a_n =0,\quad \lim_{n\to \infty}b_n =0\]

と減衰しています。

 

リーマン・ルベーグの補題

この結果は偶然ではありません。関数\(f\)がフーリエ級数展開できるとき、例えば二乗可積分(\(f\in L^2\))のとき、必ず

\[\lim_{n\to \infty}a_n =0,\quad \lim_{n\to \infty}b_n =0\]

が成り立ちます。

フーリエ係数の定義に遡ると、それは

\[\lim_{n\to \infty} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx =0\]

\[\lim_{n\to \infty} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx dx =0\]

を意味します。これはリーマン・ルベーグの補題(Riemann–Lebesgue lemma)という名前で知られる主張です。

フーリエ級数の議論抜きにこの式だけパッとみると、自信を持って成り立つとはすぐには言いにくそうですね。

 

証明

では、リーマン・ルベーグの補題を証明しましょう。

今回は、それをベッセルの不等式

\[2a_0^2 +\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)\\ \leq \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^2 dx\]

から示します。\(f\)が2乗可積分なので、右辺は有限値で、したがって左辺も有限です。

さらに、

\[\sum_{n=1}^\infty a_n^2 \\ < 2a_0^2 +\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)\]

\[\sum_{n=1}^\infty b_n^2 \\ < 2a_0^2 +\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)\]

と比較することで、左辺の級数は収束します。

収束する級数の各項は0に収束するので、

\[\lim_{n\to \infty}a_n^2 =0\]

\[\lim_{n\to \infty}b_n^2 =0\]

です。\(f(x)=\sqrt{x}\)の(点列)連続性から

\[\lim_{n\to \infty}a_n =0\]

\[\lim_{n\to \infty}b_n =0\]

がわかりました。

 

今回は、\(f\)が2乗可積分という仮定で示しましたが、リーマン・ルベーグの補題は\(f\)が(絶対)可積分というより弱い仮定で成り立ちます。

その証明は吉田「ルベーグ積分入門」や黒田「関数解析」を参照してください。

 

以上、フーリエ係数の減衰について、リーマン・ルベーグの補題とは何か、その証明を紹介してきました。

ベッセルの不等式を使うと、係数からなる級数が有限値として収束することがわかり、そこから必然的に係数の減衰がわかります。

具体的にフーリエ係数を計算すると、その係数が減衰することは見て取れますが、その背後にこんな事実があると知ってもらえたら嬉しいです。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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