大学数学基礎:論理、証明、集合の記事まとめ

大学数学の基礎として、論理、証明、集合の記事をまとめて紹介します。

大学初年度は教養数学として、微積分学線形代数学を学ぶことが多いです。それらをきちんと知るためには、数学の言葉遣い、論理・証明・集合の考え方が必要です。

僕は高校までの数学と大学数学の講義や教科書にギャップを感じたのですが、それは以下の内容を独学することで解消されていきました。

論理、証明、集合の内容は、学部1年の講義やカリキュラムにないかもしれませんし、微積分や線形代数を学ぶ上で必須というわけでもありません。しかし、数学の言葉遣いを身につけることは、どんな数学の分野を学ぶ上でも役に立つでしょう。

 

論理的な考え方

数学の文章を読んだり書いたりする上で欠かせないのが、論理証明に対する理解です。

数学の議論では、正しいとわかっていること(仮定)から示したいこと(結論)を、少しずつ論理的に証明していきます。

日常用語と違い、数学用語は限られた意味を持ちますが、その約束は定義と呼ばれます。三平方の定理のように、数学的な結果は定理命題と呼ばれるものです。

高校数学まではあまり意識されませんが、大学数学ではどれも欠かせない用語たちです。まずはこうした用語に馴染んでいきましょう。

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論理の用語、記号

数学の議論の基礎になっているのは、論理です。

論理の基本的な用語としては、かつ、または、でない、ならば、同値の意味、それらの組み合わせをまず知りましょう。

大学数学で頻繁に登場し、かつ身につけるまで苦戦するのが、すべての(全称命題)、存在する(存在命題)という考え方です。

これらの考え方は、しばしば記号を使って表されますが、それも知っておくと良いでしょう。

「AならばB」のよくある誤解から学ぶ、論理学入門(対偶、逆、否定、真偽表

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述語論理、量化子とは:全称記号(∀)と存在記号(∃)、数学における例と否定

 

証明の書き方

論理の基本的な用語を知った上で、実際に自分の手で簡単な証明を書けるようになることは大事です。

むしろ、論理の話がよくわからなければ、まずはこれらの具体的な証明の書き方を知ると良いでしょう。

数学の講義や教科書では、複雑な証明を扱うことがあります。それらを部分的にでも理解できるようになるために、ぜひ証明の能力を鍛えましょう。

偶数+奇数はいつでも奇数? 読み解き方、よくある間違いと証明

「AならばB」証明の書き方、直接法、対偶法、背理法

「すべての」「存在する」「一意性」とは? 証明の書き方

集合の要素、部分集合、等しいことの証明の書き方

写像の単射・全射・全単射の判定、証明の書き方

数学の文章・証明をわかりやすく書くために気をつけること

 

集合論

論理や証明の能力を基礎として、数学ではさらに集合の言葉を使います。集合論は、現代数学の基礎です。数も空間も関数も、すべて集合として構成されます。論理的な考え方を簡単に表記する上でも、集合の記法は便利です。

高校の集合分野では要素が有限個の集合を扱うことが多いですが、大学数学では数の集合を例として、要素が無限個の集合を扱います。

ベン図を書くだけでは集合の包含関係も説明できないので、そこで論証力が試されます。

集合に関連して、空集合差集合直積集合と順序組、集合族、写像と定義域・終域、像と逆像、単射・全射・全単射、2項関係、同値関係、順序関係、空間、商集合、濃度といったキーワードも重要です。

ここでは紹介していませんが、抽象代数:群、環、体、加群の話、位相空間の話はしばしば集合論とセットで学ばれます。

これらは数学全般で登場する概念ですが、他の分野で具体的にどう使われているかを知らないと、ピンと来ないかもしれません。必要に応じて学びましょう。

集合論入門:集合の定義、数の集合、ラッセルのパラドックス

空集合が任意の集合の部分集合であるのはなぜか(空真)

補集合、差集合、全体集合とは:例と性質、証明

抽象ベクトル空間・線形空間の具体例R^N:順序対と直積集合

集合族の扱い方(和集合・共通部分):実数の区間を例に

部分集合族(集合系)、べき集合とは何か:具体例と性質

逆像の定義、例と求め方(一点集合、区間)

写像・関数の像の定義、例と求め方(一点集合、区間)

全単射と逆写像の存在が同値であることの証明、応用

同値関係、2項関係とは? 整数の合同(mod)を例に

複素数で普通の順序・不等号・大小関係を考えないのはなぜか

ゲーム理論入門:囚人のジレンマ、順序関係の応用(選好)

集合、構造、空間とは何か? ユークリッド空間R^Nを例に考える

商集合、同値関係・同値類を解説~商群の理解に向けて

well-definedとは:代表元の取り方によらない確認はなぜ必要か

ガリレオのパラドックスとヒルベルトの無限ホテルから感じる、無限集合の性質

無限集合の濃度とは? 写像の全単射、可算無限、カントールの対角線論法

形式言語、論理式、文とは:公理的集合論に向けて

公理的集合論をわかりやすく解説:ZFC公理系を例に

 

古典論理

今まで紹介してきたのは、数学に必要な論理、形式論理、古典論理、記号論理学と呼ばれるものでした。

それらの分野が生まれる以前から論理の考え方、アリストテレスに端を発する伝統的論理学はあります。それを知らなくても数学はできますが、学ぶと数学や日常において論理を活用する視点を養えるでしょう。

論理学の入門ロードマップ:大学数学に必要な論理学とは

「演繹的・帰納的」な推論の定義、違いを、具体例を交えて解説

古典論理とは?:妥当な推論、カテゴリー的命題、クラスを解説

カテゴリー的三段論法とは:具体例と標準形、三段論法的推論

三段論法の分類:叙法(A,E,I,O)と格、形式、妥当な15種とは

省略三段論法とは:具体例を交えて解説

選言三段論法、仮言三段論法とは:具体例を交えて解説

論理学におけるジレンマとは:具体例を交えて解説

妥当な三段論法を導くための6つのルール・誤りについて解説

 

教科書

僕は大学1年のとき、松坂「集合・位相入門」を読んで、この記事に書いたような内容が大学数学の理解には欠かせないと気づきました。

ただし、独学するには少し難しいかもしれないので、自分の肌に合う本を選ぶと良いでしょう。

詳しくは:大学入学前に数学を予習したい人におすすめの本・勉強法

 

大学数学ほんとうに必要なのは「集合」
大蔵陽一(著)
ベレ出版 (2016-09-26T00:00:00.000Z)
5つ星のうち4.4
¥1,584

 

はじめての集合と位相

はじめての集合と位相

posted with AmaQuick at 2022.02.09
大田春外(著)
日本評論社 (2012-08-17T00:00:01Z)
5つ星のうち4.4
¥1,427 (中古品)

 

論理と集合から始める数学の基礎
嘉田 勝(著)
日本評論社 (2008-12-10T00:00:00.000Z)
5つ星のうち3.9
¥2,717

 

手を動かしてまなぶ 集合と位相
藤岡 敦(著)
裳華房 (2020-08-15T00:00:01Z)
5つ星のうち4.8
¥6,160 (コレクター商品)

 

Book of Proof

Book of Proof

posted with AmaQuick at 2022.02.09
Hammack, Richard H(著)
Richard Hammack (2019-07-19T00:00:01Z)
5つ星のうち4.8
¥3,652

 

集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)
松坂 和夫(著)
岩波書店 (2018-11-07T00:00:01Z)
5つ星のうち4.6
¥2,860

 

「集合と位相」をなぜ学ぶのか ― 数学の基礎として根づくまでの歴史
藤田 博司(著)
技術評論社 (2018-03-06T00:00:01Z)
5つ星のうち4.4
¥4,488 (コレクター商品)