どうも、木村（@kimu3_slime）です。
数学の学びを深めるために必要なのは、わからないことを「わからない」と言える力だと、僕は思うのです。
まだ大学の数学の学び方がわからないけれど、これからきちんと学びたい人向けに、コラム的に書いていきます。
ゼミで気づく、「わかっていない」自分
数学系の大学院生の多くは、何を自分は理解していて、何を理解していないか、それを自覚する力があると感じます。（どんなアカデミックな分野でもそうなのかもしれませんが。）
一方で、学部に入学したての僕は、そのわからないことを把握する力が弱かった。
教科書を読んでも、例えば定義が抽象的で、一体何がしたいのかわからない。
定理を見て、主張がわかっても、証明の中の論理展開がわからなかったり、どんな例でその定理が当てはまるかわからない。
わからないことだからけで、逆に少しでもわかった気になれることがあると、それはわかったことにしていました。
演習科目やテストは、最低限の点数さえ取れれば、パスすることはできますので……。
でも、それを「わかった」とは、大学の数学をきちんと学ぶ人のレベルでは、言わないのだと後に気づくことになります。
「わからない力」を鍛える方法
自分が「わからないこと」に気づけるようになったのは、主に2つの訓練によると思います。つまり、行間を埋めるノートを書くことと、ゼミで発表することです。
行間を埋めるノートを書く
数学書を読むときのポイントは、例えば「数学書の読み方について」に書かれています
自分が実践していて重要だと思ったのが、教科書をただ単に書き写すのではなく、「行間を埋める」ということです。
「行間を埋める」とは、国語の問題で「作者が言いたいこと」を読み取ることとは違います。
書かれていない（明らかな）事実や論理展開を自分で見つけ、補足してわかりやすくした自分用の教科書を作ることです。
初めて読んでみるDiestelの「Graph Theory」で試してみました。
グラフの平均次数\(d(G)\)について、明らかに（clearly）
\[ \begin{aligned}\delta(G)\leq d(G) \leq \Delta (G)\end{aligned} \]
が成立すると書かれています。しかし、なぜそれが成立するのかは、教科書には書かれていません。
参考：「自明、明らかである」に気をつけて、疑いながら数学書を読もう
この書かれていないことを、自分で書き下すのです。
示すべき内容は、3つの間の不等式ですが、2つの不等式を示すことになります。
最初から読み飛ばしてここまで来たので、\(V\)が有限集合であること、\(E(V),d(v)\)の定義といった前提を確認しつつ証明を進めます。
ポイントは、\(V\)が有限集合なので、\(|V|=\sum _{v\in V}\)となることでした。
そして等号が結ばれているところから、不等号\(\leq\)に変わるところでは、式変形の行間に矢印をつけて、「定義より」と理由を書いています。
これがまさに行間を埋めるということです。ある行とその次の行には、必ず何かしらの論理展開があり、そのすべてを把握するのが望ましい数学の理解の仕方でしょう。
このやり方は、吉田「ルベーグ積分入門―使うための理論と演習」のスタイルに習ったものです。
普通の数学書は、みっちりと数学的事実が書かれていて、省略が少なくありません。
でも、自分でノートを作り、その省略を自分がわかるレベルまで落とし込めば、少なくとも細部の論理展開は理解できる。
このやり方を意識してから、グッと数学の理解力が上がった気がします。そして、大学の数学ってより楽しいなと思うようになりました。
ゼミで発表する
少し長くなってしまいましたが、「わからないこと」を意識するための方法の1つがノートを作ることで、もうひとつがゼミで他人に向けて説明することです。
ゼミのやり方については、数学系の人に広く知られた文章「セミナーの準備のしかたについて」があります。まさに言いたいことが書かれた部分があったので、引用しましょう。
「自分は本当にわかっているのか」と言うことを徹底的に自問して「絶対にこれで大丈夫だ」と思えるようになる必要があります．「だいたいこうみたいですけど，これでいいんでしょうか」などというのは(たとえ結果的に正しいことを言っていたとしても)何もわかっていないのと同じです．「完全に正しいと断言できる」ということと「自分にはわかっていない」ということの違いが自分ではっきりとつけられるようにならなくては何も始まりません．あいまいな状態のまま，セミナー本番に臨むようなことは論外です．
僕がゼミを経験してみて、初めの頃は、準備の段階ではわかっていたつもりのことが、本番になって躓いてしまうことが少なくなかったです。
なんとなく自分用のメモだ……と思ってノートを書いていると、どこかに多少の甘えがあったのでしょうね。
ゼミの発表を何度も経験するうちに、自分は何をクリアに理解していて、何に自信がないのか、だんだんと自分で事前に把握できるようになってきました。
そして、数学のゼミ発表において、わからないことを「わからない」と述べることは、悪いことではないと僕は思います。わかったふりをして、ごまかして進めようとするよりは。
もちろん、わかって説明できるレベルまで準備はするのですが、時間的に間に合わないときもある。
僕が経験したゼミでは、発表者が「わからない」とつまづいたときには、聞いている人は「何がわかり、何がわからないのか」を質問します。それに応じて、非常に簡単な例や、定義を確認させていくと、発表者も聞く側も理解が深まります（あまりにレベルが違いすぎると大変ですが……）。
まとめると、大学の新入生が、数学系になるにあたり必要な力の一つは、「わからないこと」に自分で気づく力。
そしてそれは、行間を埋めるノート書きや、ゼミ発表によって養われる力。
この考え方が、大学の数学を初めて学ぶ人の足がかりとなれば良いなと思います。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
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