写像・関数の像の定義、例と求め方(一点集合、区間)

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、写像・関数の像の定義、例と求め方(一点集合、区間)を紹介します。

 

逆像の定義

\(X,Y\)を集合とし、写像(関数)\(f:X \to Y\)について考えます。

\(A \subset X\)とし、部分集合\(A\)の\(f\)による(image, range)は、

\[f(A):= \{y \in Y \mid y=f(x) となるx \in Aが存在する\}\]

と定義される\(Y\)の部分集合です。

言い換えれば、\(A\)の要素\(x\)を動かしたときの値\(f(x)\)の集合ですね。像はしばしば、

\[f(A):= \{f(x) \in Y \mid x\in A\}\]

と省略して表記されます。

また、定義域全体の像は

\[\mathrm{Im }(f) := f(X)\]

と表すこともあります。

 

像の例、求め方、応用

像とは、具体的にはどんなものなのでしょうか。

 

一点集合の像

簡単なケースとして、実数値関数\(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)、\(f(x)= x^2\)の一点集合\(\{2\}\)の像を求めてみましょう。

像の定義をこの場合に当てはめてみると、

\[f(\{2\}):= \{y \in \mathbb{R} \mid y=f(x) となるx \in \{2\}が存在する\}\]

ですが、\(x\in \{2\}\)とは\(x= 2\)ということです。\(f(2) =2^2 =4\)なので、

\[\begin{aligned}  f(\{2\})&= \{y \in \mathbb{R} \mid y=f(2) \}\\ &=\{4\}\end{aligned}\]

と求めることができました。

 

一般化すると、\(a\in \mathbb{R}\)とするとき、一点集合\(\{a\}\)の像は

\[f(\{a\}) = \{f(a)\}\]

となります。つまり、関数の値を要素とする一点集合です。

一点集合の像は、関数の値とほぼ同義であることがわかります。

 

区間の像

関数の像と値との違いが出てくるのは、一点集合でない部分集合を考えるときです。

 

\(A= (-1,2)=\{x \in \mathbb{R} \mid -1 <x <2\}\)という開区間の\(f(x)=x^2\)による像を求めてみましょう。

\[f((-1,2))= \{y \in \mathbb{R} \mid y=x^2 となるx \in (-1,2)が存在する\}\]

これはどんな集合でしょうか。図を書いてみると、想像しやすいです。

例えば、\(0 \in f((-1,2))\)です。なぜなら、\(0= f(0)\)と表せるからです。また、\(1= f(1)\)となるので、\(1 \in f((-1,2))\)です。

ここから、次のような予想が立てられます。

\[f((-1,2))= [0, 4)\]

これが正しいことを、集合が等しいことの定義にのっとって示しましょう。

\(y \in f((-1,2))\)とすると、\(y=x^2\)となる\(x \in (-1,2)\)が存在します。\(-1 <x <2\)より、\(0\leq x^2 <4\)です(不等式の変形では、単純に各辺を2乗するわけではないことに注意)。したがって、\(y \in [0,4)\)であり、\(f((-1,2))\subset [0, 4)\)です。

逆に、\(y \in [0,4)\)としましょう。\(y \geq 0\)であることに注意して\(x =\sqrt{y}\)と置くと、\(x \in (-1,2)\)であり、\(y=  x^2 =f(x)\)が成り立ちます。よって、\(y \in f((-1,2))\)であり、\(f((-1,2))\supset [0, 4)\)です。

以上により、\(f((-1,2))= [0, 4)\)と像が求められました。

 

関数による定義域の像は、高校数学において、しばしば値域と呼ばれます。値域という言葉は、写像の終域、\(f : X \to Y\)と表すときの\(Y\)としても使われることがあります。これらは別物なので、注意しましょう。

参考:5分でわかる!定義域・値域とは? – Try it

例えば、\(g(x) = \sin x\)による、定義域全体\(\mathbb{R}\)の像を求めてみましょう。グラフを想像すれば、

\[g(\mathbb{R} )= [-1,1]\]

と予想されます。

\(y \in g(\mathbb{R})\)としましょう。\(g(-\frac{\pi}{2}) =-1\)、\(g(-\frac{\pi}{2})= 1\)で、\(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\)において\(g\)は狭義単調増加なので、\(-1 \leq y = \sin x \leq 1\)です。よって、\(y \in [-1,1]\)。

逆に、\(y \in [-1,1]\)と仮定します。\(g(-\frac{\pi}{2}) =-1<  1=g(-\frac{\pi}{2})\)で、\(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)において\(g\)は連続なので、中間値の定理より\( y= \sin x\)を満たす\(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)が存在します。つまり、\(y=\sin x\)を満たす\(x\in \mathbb{R}\)が存在するので、\(y \in g(\mathbb{R} )\)です。

よって、\(g(\mathbb{R} )= [-1,1]\)と示せました。

\(g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)としても(終域を\(\mathbb{R}\)と考えても)、像(値域)は\(g(\mathbb{R} )= [-1,1]\)です。

 

最後に、原点での値を指定した逆数関数

\[h(x)= \begin{cases}\frac{1}{x} & (x >0 )\\0 & (x= 0)\end{cases}\]

による閉区間\([0,1]\)の像を求めてみましょう。

グラフを想像してみると、

\[h([0,1])= \{0\} \cup [1, \infty)\]

と予想されます。これが正しいことを証明しましょう。

まず、\(y \in h([0,1])\)と仮定します。像の定義より、\(y= h(x)\)を満たす\(x \in [0,1]\)が存在します。\(x = 0\)のときは\(y=h(0)=0\)なので、\(x \in \{0\}\)です。\( x\neq 0\)のとき、\(x>0\)において\(\frac{1}{x}\)が単調減少であること、\(h(1) =1\)から、\(y=h(x)  \geq 1\)、つまり\(y \in [1, \infty)\)となりました。

逆に、\(y \in \{0\} \cup [1, \infty)\)と仮定します。\(y = 0\)のときは、\(h(0)=0 =y\)なので、像の定義から\( y \in h([0,1])\)です。\(y \in [1, \infty)\)のときは、\(y \neq 0\)であることに注意して\(x = \frac{1}{y}\)と置けば、\(y= \frac{1}{x} = h(x)\)です。像の定義から、\(y \in h([0,1])\)です。

よって、\(h([0,1])= \{0\} \cup [1, \infty)\)が示せました。

 

少し、像を使った発展的な話をしましょう。

\(f\)が連続関数であるとき、連結な集合(つながった集合)の像はまた連結となることが知られています。

\(f(x)= x^2\)による連結な区間\((-1,2)\)の像は、\(f((-1,2))= [0, 4)\)で、確かに連結です。

一方、\(h\)による連結な区間\([0,1]\)の像は、\(h([0,1])= \{0\} \cup [1, \infty)\)と非連結になっています。これは\(h\)が連続でないことを示しています。

参考:連結性とは:実数区間、中間値の定理を例に

また、\(f\)が連続であるとき、コンパクト集合(有界閉集合)の像はまたコンパクトとなることが知られています。

\(f(x)= x^2\)による有界閉集合\([-1,2]\)の像は、\(f([-1,2)])= [0, 4]\)で、確かに有界な閉集合です。

一方、\(h\)による有界閉集合\([0,1]\)の像は、\(h([0,1])= \{0\} \cup [1, \infty)\)と非有界な集合となっています。これもまた、\(h\)が連続でないことを示しています。

参考:コンパクト性とは:有界閉集合、最大値の定理を例に

 

以上、写像・関数の像の定義、例と求め方(一点集合、区間)を紹介してきました。

線形代数学では、線形写像(行列)による像を考えます。線形写像による部分空間の像は常に線形空間となり、その次元は線形写像のランクに等しいという一般論があります。

像は数学のあらゆるところで使われる考え方なので、逆像と合わせて具体的に求められるようになると良いでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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