ルートを含む等式の両辺を2乗するときの注意点：逆も成り立つか

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

中学や高校の数学で、等式の両辺を2乗しても良いのかどうか、迷ったことがあるでしょうか。今回は、等式の両辺を2乗するときの注意点を紹介します。

等式の変形と注意点

例として、\(\sqrt{x+2}=x\)という方程式を考えてみましょう。

間違った回答

\(\sqrt{x+2}=x\)の両辺を2乗して、\(x+2=x^2\)となる。移項すると、\(x^2-x-2=0\)。因数分解すると、\((x-2)(x+1)=0\)である。よって、解は\(x=2,-1\)である。

上の回答がなぜ間違っているか、説明できるでしょうか。

\(x=2\)は確かに解ですが、\(x=-1\)は解ではありません。最初の方程式に代入して確かめると、左辺は\(\sqrt{-1+2}=1\)、右辺は\(-1\)と等しくならないので。

どうして間違いが導かれたのでしょうか。もしかして、等式を両辺を2乗するという操作は正しくないのでしょうか。いやいや、そんなことはありません。

\[ \begin{aligned}\sqrt{a}=b ならば a =b^2\end{aligned} \]

という主張は正しいです。ただし、これは逆の主張

\[ \begin{aligned}a=b^2 ならば \sqrt{a}=b\end{aligned} \]

が一般には成り立ちません。

今回見た例のように、必要以上に解を増やしてしまう変形になっていることがあります。もちろん、問題ないケースもありますが。なので、2乗する操作をしたら、最後に解の吟味（本当に解になっているか）の確かめをすると良いでしょう。

参考：軌跡の問題で逆の確認は必要か：逆が成り立たない例

等式を2乗するときに、このような心配をしたくないなら、論理的に同値な変形になっているか意識すると良いでしょう。

\[ \begin{aligned}\sqrt{a}=b ならば a=b^2 かつ b \geq 0\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} a=b^2 かつ b \geq 0ならば \sqrt{a}=b\end{aligned} \]

これらは正しいです。これを「\(\sqrt{a}=b\)」は「\(a=b^2 かつ b \geq 0\)」と論理的に同値である、必要十分条件である、と言います。

そもそもルートは正の数を表すので、その条件を加えておけば同値な変形になります。今回の例ならば、\(\sqrt{x+2}=x\)は\(x+2=x^2\)かつ\(x \geq 0\)と同値です。なので、\(x=-1\)という解の候補が出てきても、\(x \geq 0\)を満たさないので解でないとわかります。

似たような間違いとして、

\[ \begin{aligned}\sqrt{(x-2)^2}= x-2\end{aligned} \]

という式変形はよくあります。\( x \geq 2\)のときは正しいですが、\(x<2\)では間違った主張となってしまっています。正しくは、

\[ \begin{aligned}\sqrt{(x-2)^2}= \begin{cases}x-2 & (x \geq 2 )\\-(x-2) & (x<2)\end{cases} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}\sqrt{(x-2)^2}= |x-2|\end{aligned} \]

です。

詳しくは：平方根とルートの違い：ルート外しの注意点

中学校の数学では、等式の性質として次のようなものを学ぶのではないでしょうか。

\(a,b,c\)を数とする。