なぜジョルダン標準形を考えるか、求め方、一般固有ベクトル

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、なぜジョルダン標準形を考えるかについて、またその求め方を紹介します。

ジョルダン標準形をなぜ考えるか
ジョルダン標準形の求め方
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ジョルダン標準形をなぜ考えるか

ジョルダン標準形は、行列の対角化とセットの概念です。

行列の対角化やジョルダン標準形をなぜ考えるかというと、行列のべき乗\(A^k\)が計算しやすくなるからでしょう。

応用としては、指数行列\(e^A\)を求めるには行列のべき乗を計算する必要があり、それは線形微分方程式を解くのに役立ちます。

\[ \begin{aligned} e^A &= I+ A + \frac{1}{2}A^2 +\cdots \\&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^k \end{aligned} \]

計算したことがあるならわかると思いますが、行列の積は面倒くさいです。サイズが大きくなるとなおさらです。

そこで、もし行列が\(P^{-1}AP =D\)と対角行列に変形できるなら、行列のべき乗\(A^k\)の計算は簡単になります。なぜなら、対角行列のべき乗は、その対角成分をべき乗するだけだからです。対角行列のべき乗は計算しやすいので、行列をその形に変形しよう、という発想が行列の対角化となります。

多くの場合では、行列の対角化をすることができます。しかし、対角化できないような行列も少なからずあるのです。では、対角化できない行列は、べき乗計算\(A^k\)を諦めて地道にするしかないのでしょうか。

そこでジョルダン標準形の理論の出番です。すべての正方行列\(A\)は、ある可逆行列\(P\)によって

\[ \begin{aligned}P^{-1}AP =J\end{aligned} \]

と上三角行列\(J\)に変形できます。すべての行列を対角行列に変形できはしませんが、上三角行列にすることはできるわけです。

この上三角行列\(J\)が、ジョルダン標準形と呼ばれる形をしたものです。

例えば、

\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1&1\\0& 1\end{pmatrix}\end{aligned} \]

という行列は対角化不可能です。しかし、それは上三角行列ではあります。上三角行列は、対角行列とべきゼロ行列の和として

\[ \begin{aligned} D=\begin{pmatrix} 1&0\\0& 1\end{pmatrix}\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} N=\begin{pmatrix} 0&1\\0& 0\end{pmatrix}\end{aligned} \]

\(A=D+N\)といったように表せます（ジョルダン分解）。すると、指数行列は\(e^A =e^D e^N\)と簡単に計算できます。

参考：べきゼロ行列とは：例、指数行列、性質

ジョルダン標準形は、上で見た例のように対角化できない単純な行列をパーツとして組み合わせたものです。

\[ \begin{aligned}J_2 (\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda &1\\ 0&\lambda \end{pmatrix}\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}J_k (\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda &1&0 &\cdots &0\\ 0&\lambda &\ddots &0 &\cdots &0 \\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ 0&\cdots&0&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&\ddots&1 \\ 0&\cdots&&0& \lambda\end{pmatrix}\end{aligned} \]

これを固有値\(\lambda\)に対応する\(k\)次のジョルダン細胞（Jordan cell）と呼びます。ジョルダン行列（Jordan matrix）は、ジョルダン細胞を対角ブロックに並べた行列のことです。

\[ \begin{aligned}J= \begin{pmatrix} J_{k_1}(\lambda_1)&O&O\\O& \ddots &O\\O&O& J_{k_r}(\lambda_r) \end{pmatrix}\end{aligned} \]

どんな行列も、このようなジョルダン行列に変形することができ、それをジョルダン標準形（Jordan normal form）と呼びます。

ジョルダン標準形の求め方

ごく簡単な例で、ジョルダン標準形の求め方を紹介します。

\[ \begin{aligned}A= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 13&-1 \\ 9&7\end{pmatrix}\end{aligned} \]

について考えましょう。

固有値を求め、その重複度を求めるというプロセスまでは、対角化と同様です。

特性方程式\(\det (\lambda I-A)=0\)は、

\[ \begin{aligned} &(\lambda-\frac{13}{2})(\lambda -\frac{7}{2})+\frac{9}{4} \\ &=(\lambda-5)^2 \end{aligned} \]

なので、固有値は\(5\)で、その代数的重複度は2です。対応する固有ベクトルを求めましょう。基本変形すると

\[ \begin{aligned} &A-5I\\&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3&-1 \\ 9&-3\end{pmatrix} \\ & \simeq\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3&-1 \\ 0&0\end{pmatrix} \end{aligned} \]

なので、固有ベクトルのひとつは\(p_1=(1,3)\)です。固有空間は\(p_1\)のみにより生成され、その次元は1となっています。固有空間は\(E(5) =\{ kp_1 \mid k \}\)と表されます。

固有値5の代数的重複度が2に対し、幾何学的重複度（固有空間の次元）が1なので、対角化できません。行列\(A\)の固有ベクトルで、2つの線形独立なものが見つからないのです。

そこで、一般固有ベクトル（generalized eigenvector）、一般固有空間（generalized eigenspace）というものを考えます。広義固有ベクトル、広義固有空間とも。

\(m\)を自然数として、

\[ \begin{aligned}(A-\lambda I)^m x=0\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}(A-\lambda I)^{m-1} x\neq 0\end{aligned} \]

を満たす\(x\)を階数\(m\)の一般固有ベクトルと呼びます。普通の固有ベクトルとは、階数1の固有ベクトルというわけです。一般固有ベクトルを集めた空間を一般固有空間と呼びます。

今回の例では、

\[ \begin{aligned}(A-5I)x =p_1\end{aligned} \]

を解くことで、階数\(2\)の一般固有ベクトルが求められます。なぜなら、\(p_1 \neq 0\)であり、両辺に\(A-5I\)をかければ

\[ \begin{aligned}(A-5I)^2 x =(A-5I)p_1 =0\end{aligned} \]

となるからです。

\((A-5I)x=p_1\)を基本変形によって解きましょう。

\[ \begin{aligned} &\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3&-1&2 \\ 9&-3&6 \end{pmatrix} \\ & \simeq \begin{pmatrix} 3&-1&2 \\ 0&0&0\end{pmatrix} \end{aligned} \]

なので、\(p_2 =(2,4)\)が階数2の一般固有ベクトルのひとつです。\(Ap_2 =p_1 +5p_2\)という形で、ちょっと\(p_1\)によるずらしがあるものの、固有ベクトルっぽいものではありますね。

一般に、固有値\(\lambda\)に対応するジョルダン細胞のサイズは、その代数的重複度に対応します。今回ならば2、\(J_2(5)\)です。すなわち、\(P=(p_1,p_2)\)と置くと、

\[ \begin{aligned} P^{-1}AP &=J_2(5)\\ &= \begin{pmatrix}5 &1\\0&5 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

とジョルダン標準形が求められました。

なぜこうなるかといえば、

\[ \begin{aligned} AP &= (Ap_1,Ap_2)\\&= (\lambda p_1,p_1+\lambda p_2)\\&= P\begin{pmatrix} \lambda&1 \\ 0& \lambda \end{pmatrix} \\ &= PJ_2(\lambda) \end{aligned} \]

となるからです。

以上、なぜジョルダン標準形を考えるか、簡単な例の求め方、一般固有ベクトルについて紹介してきました。

対角化できなくても、ジョルダン標準形は考えることができて、それによって行列のべき乗計算が簡単になります。ジョルダン標準形は難解なものと思われやすいようですが、今回の話でその意義を感じてもらえたら嬉しいです。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。