固有空間の求め方、代数的・幾何学的重複度とは:部分空間となることの証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

線形代数学において、行列の対角化を一般的に考えるためには、まず固有空間の知識が必要となります。

今回は、固有空間、代数的・幾何学的重複度とは何かを具体例を挙げながら紹介し、固有空間が部分空間となることを証明します。

 

固有空間とは

\(A\)を\(N\)次の正方行列としましょう。行列の固有値、固有ベクトルとは

\[Ax = \lambda x\]

を満たす\(\lambda \in \mathbb{C}\)、\(x \in \mathbb{C}^N\)のことでした。

行列\(A\)の固有値\(\lambda_i\)に対する固有空間(eigenspace)とは、ある固有値に対応する固有ベクトルすべてを集めてできる集合(部分空間)のことです。

\[E(\lambda_i):= \{x \in \mathbb{C}^N \mid Ax = \lambda_i x\}\]

\(V_{\lambda_i},W(\lambda_i )\)と表記することもあるでしょう。この空間は、数\(\lambda_i\)によって決まるものです。2つの異なる固有値\(\lambda _1 \neq \lambda _2\)があるとき、固有空間は別物となります\(E(\lambda_1) \neq E(\lambda_2)\)。

(一般に、異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立なので)

固有空間は、ほぼ「固有ベクトル」の集まりなのですが、違いがあるとすれば\(x=0\)を含んでいることにあります。固有ベクトルとは、\(E(\lambda)\)の要素のうち0でないものを指した言葉です。

 

固有空間を求めるために、行列はどんな固有値を持っているか、まず調べましょう。一般に固有値は、固有方程式\(\det(\lambda_i I -A)=0\)を解くことで求められます

そして各固有値に対して、\(Ax = \lambda_i x\)がどんな解を持っているか調べることになります。これは連立一次方程式(線形方程式)の問題ですね。そこで得られる解\(x\)を集めたのが、固有空間です。

 

すべて異なる固有値

固有空間を、簡単な例で具体的に求めていきましょう。

\[A=\begin{pmatrix} 2& 0\\0 & 3 \end{pmatrix}\]

という対角行列を考えます。

固有方程式を解けば(解くまでもありませんが)、固有値は\(2,3\)です。それぞれに対応する固有空間を求めてみましょう。

\(Ax =2x\)の解としては、\(x=(x_1,x_2)\)とすると

\[\begin{pmatrix} 2x_1\\3x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x_1\\2x_2 \end{pmatrix}\]

なので、\(x_2=0\)でなければなりません。\(x_1\)成分は何であっても成り立ちます。つまり、\((1,0)\)とそのスカラー倍が解です。したがって、

\[E(2) = \{(k,0) \mid  k\in \mathbb{R}\}\]

という\(x_1\)軸の直線が固有空間です。

また、\(Ax =3x\)についても同様で、\((0,1)\)とそのスカラー倍が解です。

\[E(3) =\{ (0,k) \mid k \in \mathbb{R}\}\]

という\(x_2\)軸の直線が固有空間です。

\(E(2),E(3)\)はともに次元が1で、基底はそれぞれ\((1,0)\)と\((0,1)\)ですね。

 

固有値の代数的重複度=固有空間の次元

\[A =  \begin{pmatrix} 2 &1&1\\1&2&1 \\ 1&1&2 \end{pmatrix}\]

という対称行列を考えましょう。

 

固有方程式は、余因子展開を使って計算すると

\[\begin{eqnarray} &&\det (\lambda I -A) \\&=& \det\begin{pmatrix} \lambda -2 &-1&-1\\ -1&\lambda -2& -1 \\- 1&-1& \lambda -2 \end{pmatrix} \\&=& \det\begin{pmatrix} \lambda -2 &-1&-1\\ 0&\lambda -2-\frac{1}{\lambda-2}& -1-\frac{1}{\lambda-2} \\0&-1-\frac{1}{\lambda-2}& \lambda -2-\frac{1}{\lambda-2} \end{pmatrix}\\&=&(\lambda-2)\det \begin{pmatrix} \lambda -2-\frac{1}{\lambda-2}& -1-\frac{1}{\lambda-2} \\-1-\frac{1}{\lambda-2}& \lambda -2-\frac{1}{\lambda-2} \end{pmatrix}\\&=&(\lambda-2) ((\lambda -2-\frac{1}{\lambda-2})^2-(-1-\frac{1}{\lambda-2})^2)\\&=&(\lambda-2)((\lambda-2)^2-2-1 -\frac{2}{\lambda-2} )\\&=&(\lambda-2)^3 -3(\lambda-2)-2\\&=&\lambda^3 -6\lambda ^2+9\lambda -4\\&=&(\lambda-1)(\lambda^2-5\lambda +4) \\&=& (\lambda-1)^2 (\lambda-4)\end{eqnarray}\]

となります。途中で因数定理を使って因数分解しました。

よって、固有値は\(\lambda_1 =1\)、\(\lambda_2 =4\)です。

 

固有値1に対応する固有空間を求めます。\(Ax=x\)を解くわけですが、それは\((A-I)x=0\)を解く問題であり、基本変形によって解くと簡単です

\[\begin{eqnarray}&& A-I\\ &=& \begin{pmatrix} 1 &1&1\\1&1&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix} \\ &\sim& \begin{pmatrix} 1 &1&1\\0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}\]

と基本変形できます。したがって、解空間の基底としては\((-1,1,0)\)、\((-1,0,1)\)が選べます。つまり、

\[E(1) = \{k_1( -1,1,0)+k_2(-1,0,1) \mid k_1,k_2 \in \mathbb{R}\}\]

と求められ、その次元は2です。

 

固有値4に対応する固有空間を求めましょう。

\[\begin{eqnarray}&& A-4I\\ &=& \begin{pmatrix} -2 &1&1\\1&-2&1 \\ 1&1&-2 \end{pmatrix} \\ &\sim& \begin{pmatrix} -2 &1&1\\2&-4&2 \\ 2&2&-4 \end{pmatrix} \\ &\sim& \begin{pmatrix} -2 &1&1\\0&-3&3 \\ 0&3&-3 \end{pmatrix} \\ &\sim& \begin{pmatrix} -2 &1&1\\0&-3&3 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}\]

と基本変形できるので、基底として\((1,1,1)\)が見つかります。よって、

\[E(4) = \{k(1,1,1) \mid k \in \mathbb{R}\}\]

で、その次元は1となります。

 

一般に、固有値\(\lambda _i\)が固有方程式の\(n\)重解であるとき、\(n\)を固有値の代数的重複度(algebraic multiplicity)と呼びます。

また、固有値\(\lambda_i\)に対応する固有空間の次元を、幾何学的重複度(geometric multiplicity)と呼びます。

今回の例ならば、\(\lambda_1 =1\)の代数的重複度と幾何学的重複度はともに2です。また、\(\lambda_2 =4\)についても、重複度はともに1です。

一般に、すべての固有値の代数的重複度と幾何学的重複度が一致することと、行列が対角化可能であることは同値です。

すべての行列で2つの重複度が一致するとは限りません。それを次の例で見てみましょう。

 

固有値の代数的重複度≠固有空間の次元

\[\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\]

なる行列を考えましょう。

 

固有方程式は\((\lambda-1)^2 =0\)となり、\(\lambda=1\)が固有値です。固有空間を求めると、

\[ \begin{eqnarray} &&(A-I)x \\ &=&\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix}x \end{eqnarray}\]

なので、\(x_2=0\)で\(x_1\)が任意、すなわち基底としては\((1,0)\)しか見つかりません。よって、

\[E(1)=\{k(1,0)\mid k \in \mathbb{R}\}\]

が固有空間です。

この例では、固有値\(1\)の代数的重複度は2ですが、幾何学的重複度は1です。一般論を認めるならば、この行列は対角化可能ではありません。

 

固有空間が部分空間となること

これまでに見てきた固有空間は、確かに直線や平面のような線型部分空間でした。一般に、

\[E(\lambda):= \{x \in \mathbb{C}^N \mid Ax = \lambda x\}\]

部分空間となることを確かめてみましょう。

 

\(x,y \in E(\lambda)\)とすると、\(Ax =\lambda x\)、\(Ay =\lambda y\)を満たします。したがって、\(A\)の線形性を使えば、

\[ \begin{eqnarray}A(x+y) &=&Ax+Ay\\&=&\lambda x+ \lambda y \\&=& \lambda(x+y) \end{eqnarray}\]

なので、\(x+ y \in E(\lambda)\)です。

同様に、\(k\)をスカラーとして、\(A\)の線形性より

\[\begin{eqnarray} A(kx)&=& kAx \\&=& k \lambda x &=& \lambda(kx) \end{eqnarray}\]

なので、\(kx \in E(\lambda)\)です。\(E(\lambda)\)が\(\mathbb{C}^N\)の部分空間であると言えました。

この結果は、固有ベクトルの和、スカラー倍はまた固有ベクトルとなる、ということを含んでいます。

 

以上、固有空間の求め方、代数的・幾何学的重複度とは何か、部分空間となることの証明を紹介してきました。

与えられた行列を対角化せよというのは線形代数学の基本的な問題ですが、それにあたっては固有空間の考え方、代数的・幾何学的重複度の理解が必要となります。

固有方程式を解くには行列式の計算が、固有ベクトルを求めるには線形方程式の解き方(基本変形)といった基本的なスキルが求められます。もし途中のステップでわからない部分があれば、戻って復習してみると良いでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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