不変部分空間とは:固有空間、射影行列を例に

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、不変部分空間とは何か、固有空間、射影を例に紹介します。

 

不変部分空間とは

\(A\)を\(N\)次の正方行列、\(W\)を\(\mathbb{R}^N\)の部分空間とします。

\(W\)が\(A\)について不変部分空間(invariant subspace)であるとは、\(A(W) \subset W\)が成り立つことです。\(W\)は\(A\)-不変であるとも。

左辺は\(A\)による\(W\)の像で、

\[A(W):= \{ y \in \mathbb{R}^ N \mid y=Ax となる x \in W が存在する\}\]

のことでした。

\(W\)全体を線形変換\(A\)によって写しても、\(W\)をはみ出るようなことがない、それが不変部分空間であるということです。

 

固有空間

不変部分空間の例としては、固有空間があります。

行列\(A\)と数\(\lambda \)に対し、

\[E(\lambda)= \{ x  \mid Ax = \lambda x\}\]

により定まる部分空間を、固有空間というのでした。

 

固有空間\(E(\lambda)\)が、行列\(A\)について不変であることを確かめましょう。つまり、\(A(E(\lambda)) \subset E (\lambda)\)を示せば良いです。

任意に\(y \in A(E(\lambda))\)を選ぶと、像の定義から\(y= Ax\)、\(x \in E(\lambda)\)と表せます。\(x\in E(\lambda)\)より、\(Ax = \lambda x\)です。したがって、\(Ay = A(\lambda x) = \lambda Ax =\lambda y\)を満たします。よって、\(y \in E(\lambda)\)が言えました。

この証明と同様にして、ある固有ベクトルが生成する部分空間は、不変部分空間であると言えます。

 

そもそも、不変部分空間という概念は、固有空間が持つ性質を一般化したものと言えるでしょう。固有ベクトルを考えることは、その行列による変換が簡単になるベクトルを見つけることです。

\(\{0\}\)という1点集合(0次元線形空間)を考えると、それは任意の行列\(A\)の不変部分空間です。なぜなら、必ず\(A0 =0\)なので。このとき、\(x=0\)は\(A\)の不動点(fixed point)といったりします。

微分方程式の解の時間変化を調べる力学系の分野では、もっと一般に不変集合という概念を考えます。線形方程式では不変部分空間が見つかりますが、一般には(線形でない)不変部分集合が見つかるわけです。

参考:不変集合、安定・不安定・中心多様体とは何か?

 

射影行列

別の例として、射影行列の像や核を考えてみましょう。射影行列とは、\(P^2 =P\)を満たす正方行列のことです。

\(P\)の像と核については、

\[\mathbb{R}^N = P(\mathbb{R}^N) \dot{+} \ker P\]

という直和分解が成り立ちます。

 

ここで、像と核が\(P\)不変な部分空間であることを確かめてみましょう。

まず、像\(P(\mathbb{R}^N)\)は\(P\)不変です。定義式において、\(P(\mathbb{R}^N)\subset P(\mathbb{R}^N)\)は等号として当然成り立つので。

核\(\ker P =\{x \mid Px =0\}\)について。\(P(\ker P) \subset \ker P\)を示します。\(y \in P(\ker P)\)とすると、\(y= Px , x \in \ker P\)と表わせます。核の定義より、\(Px =0\)です。\(P^2=P\)に注意すれば、\(Py= PPx =Px =0\)なので、\(y\in \ker P\)が言えました。

 

以上、不変部分空間とは何か、固有空間、射影行列を例に紹介してきました。

何かの行列・作用素について不変な集合・空間という考え方は、数学全般で見られます(例えば群の作用について不変な集合、正規部分群)。

単に「不変」と略記されることが多いですが、「何の集合が」「何の変換について」不変なのか意識すると、意味がわかりやすくなるかと思います。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

明解演習 線形代数 (明解演習シリーズ)
平治, 小寺(著)
共立出版 (1982-07-09T00:00:01Z)
5つ星のうち4.0
¥788 (中古品)

 

世界標準MIT教科書 ストラング:線形代数イントロダクション
ギルバート ストラング(著), 松崎 公紀(翻訳), 新妻 弘(翻訳)
近代科学社 (2015-12-22T00:00:01Z)
5つ星のうち4.6
¥14,721 (コレクター商品)

 

基礎数学1線型代数入門

基礎数学1線型代数入門

posted with AmaQuick at 2021.05.20
齋藤正彦(著)
東京大学出版会 (2019-03-08T00:00:00.000Z)
5つ星のうち4.3
¥1,870

 

こちらもおすすめ

不変集合、安定・不安定・中心多様体とは何か?

射影行列、射影作用素とは:例、定義、性質