趣味の大学数学

偏微分方程式とその力学系、関数解析の入門記事まとめ

2022-10-24T04:27:22Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

僕が学生時代に専門的に学んだ、偏微分方程式とその力学系、関数解析への入門を紹介します。

微積分学と線形代数学、集合と位相、応用解析の一部（常微分方程式・フーリエ解析・偏微分方程式）が前提知識です。

何のためにこうした基礎分野があるのか、基礎知識は専門的な学びのどこで必要となってくるのか整理しようとする試みです。

概念のモチベーションを紹介することを目標としているため、応用的な話→基礎的な話の順に並んでいる部分があります。興味を持った部分から読み進めてみてください。

力学系、アトラクターの理論

力学系理論（dynamical system theory）は、微分方程式の解が長期的にどのような挙動を見せるのかを、初期値の空間（相空間）に注目して調べる分野です。漸近挙動（asymptotic behavior）、長期挙動（long-time behavior）の理論とも。

平衝解は他の解を引き寄せるかどうかは、安定性の理論と呼ばれています。こうした安定性の話は、基本的に平衝解の近くの話：局所的です。

これに対し、アトラクター（attractor）は初期値の空間全体の挙動を捉えようとする大域的な話となります。ローレンツアトラクターは一般に知名度があり、予測不可能性やカオスの話の引き合いに出されますが、まずアトラクターの意味と重要性を知ることは大事です。つまり、微分方程式を理論的に解くのが難しく、個別の解の挙動が予想し難いとしても、およそ限られた範囲に引き込まれとどまっていくことがわかるのがアトラクターの話です。

アトラクターの理論は、まず常微分方程式のケースから学ぶと良いでしょう。しかしそのアイデアは、抽象力学系を通して偏微分方程式でも利用できます。熱方程式を含むような偏微分方程式の分類：反応拡散方程式におけるアトラクターの存在が示せます。

常微分方程式の力学系

カオス理論、バタフライ・エフェクトとは何か？ローレンツ・アトラクターを例に

カオス現象のわかりやすい具体例を視覚的に見る

吸収集合、散逸系とは：線形力学系を例に

一点と集合の距離、集合間の距離とは：ユークリッド空間を例に

グローバルアトラクターとは：散逸系における存在、例

ローレンツ方程式のアトラクターの存在証明

常微分方程式の比較定理とは、証明

グロンウォールの不等式とは、証明

偏微分方程式の力学系

解作用素、抽象力学系とは：偏微分方程式の力学系入門

熱方程式のエネルギー評価とは：単純な例

反応拡散方程式の力学系でL^2の吸収集合が存在することの証明

反応拡散方程式の力学系でアトラクターが存在することの証明

偏微分方程式の基礎、関数空間

偏微分方程式の教科書には、大ざっぱに言えば、関数空間を使わない古典的なアプローチと、関数空間を使った関数解析的なアプローチがあります。ここで紹介するのは後者の入門です。

偏微分方程式の力学系を考えると、相空間はユークリッド空間ではなく、関数のなす空間：関数空間となります。例えば熱方程式の初期状態（初期値）は関数です。

関数空間の典型例が、連続関数のなす空間$C^k$、可積分関数のなす空間$L^p$、ソボレフ空間$W^{k,p}$です。

抽象力学系を定めるためには微分方程式の解の存在と一意性が保証されなければ始まりませんが、一般的な偏微分方程式でそれを示すのは簡単ではありません。

常微分方程式の教科書では、しばしば解の存在と一意性は当たり前で、その上で「解の表示式（公式）を得る」ことを「微分方程式を解く」と呼ぶでしょう。特殊な形の偏微分方程式なら、同様のことができます。

しかし一般的な偏微分方程式では、解の表示式を得るのは難しいです。そこで部分的な問題として、まず解は一意に存在するのかといった基礎的な問題（存在と一意性）を対処しようとするわけです。

$C^k$は解の構成、収束について都合が悪いことがあり（完備性がない）、$L^p$や$W^{k,p}$といったより広い関数空間が必要になります。積分可能な関数だけでは微分の議論ができないため、微分を少し弱めた弱微分、弱形式のアイデアが必要となります。

アトラクターの構成においては、関数空間におけるコンパクト集合が必要となりますが、$H^1$の有界集合は$L^2$におけるコンパクト集合となる：レシッヒ・コンドラショフの定理のような埋め込み定理は重要です。

ルベーグ積分の教科書や講義はしばしば測度と積分の定義、収束定理に焦点を置きますが、こうした関数空間の準備という目標を持って学ぶのも良いでしょう。

ルベーグ積分、L^p空間

なぜルベーグ積分を学ぶのか偏微分方程式への応用の観点から

連続関数、可積分関数の線形空間（関数空間）、微分と積分の線形性とは

関数空間が無限次元とは？多項式関数を例に

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ほとんど至る所（a.e.）とは：簡単な関数を例に

有界閉区間上の連続関数はp乗可積分であることの証明

p乗可積分な関数とは：負のべき乗、L^1だがL^2でない例

ソボレフ空間

テスト関数C_c^∞、関数の台とは：簡単な例

相対位相、部分集合における開集合・閉集合とは：ユークリッド空間の位相を例に

弱微分、ソボレフ空間W^{k,p},H^kとは：簡単な例

弱微分の一意性の証明：変分法の基本補題を利用して

超関数、超関数微分とは：ディラックのデルタ関数を例に

境界で0のソボレフ空間W_0^{k,p},H_0^kとは

弱形式、弱解とは：ポアソン方程式を例に

ソボレフ空間W^{k,p}・H^kが線形、ノルム、内積空間となることの証明

レリッヒ・コンドラショフの定理、コンパクト作用素、コンパクトな埋込みとは

負の指数のソボレフ空間H^{-k}、双対空間とは

ポアンカレの不等式とは、証明、H_0^1ノルムへの応用

時間つき関数空間、バナッハ空間値関数とは

放物型偏微分方程式の弱形式、弱解とは

関数解析

関数解析（functional analysis）は、関数空間と、その要素である関数の対応：作用素や汎関数に関する理論です。主に線形代数がその土台となっています。

常微分方程式の力学系と偏微分方程式の力学系では、相空間はユークリッド空間と関数空間ですが、後者には特有の扱いにくさがあります。まずわかりやすい違いとして、前者は有限次元、後者は無限次元（有限次元でない）があります。

「線形代数」の教科書では、議論を有限次元に制限したものが多いですが、その制限を外した話を関数解析では扱います。

無限次元の場合では「基底」の意味を工夫し、代数的な基底（有限個の線形結合）だけでなく、線形結合の極限として表せる意味での基底：完全正規直交系を考えます。フーリエ級数展開は、関数空間の基底の例です。

有限次元と無限次元では、コンパクトな集合（ある意味で大きすぎない集合）の性質も違います。有限次元では有界な閉集合はコンパクトですが（ハイネ・ボレルの定理）、無限次元ではそうとは限らず、実際単位球がコンパクトになりません。

それでも偏微分方程式の解の存在と一意性を示したり、アトラクターのようなコンパクトな集合を構成するためには、関数空間のノルム（位相）の関係や線形作用素の理論を使いこなす必要があります。

線形作用素は行列の一般化であり、その例である積分作用素や微分作用素は微分方程式と関係してきます。連立方程式$Ax=b$を行列として$x=A^{-1}b$と解いたように、偏微分方程式を作用素$F$によって$F(u)=v$と表し、$v=F^{-1}(u)$と解けないか考えるわけです。

特にコンパクト作用素は、有限次元の場合の行列の一般化として良い性質を持ちます。対称な行列の固有値は実数で対角化可能という線形代数の結果は、ヒルベルト・シュミットの定理として一般化されます。

関数解析の教科書は、関数空間と線形作用素の一般論が広く展開されますが、一般的すぎて何が目的なのかわからなくなることもあるでしょう。

ここでの一連の記事は、関数解析と偏微分方程式の関連、特にラプラシアンの固有値・固有関数の性質を明らかにします。これは「すべての関数は三角関数の和として表せるか？」というフーリエの問題の正当化と回答、一般化です。また、「ラプラシアンが逆作用素を持つか」という問題は「ポアソン方程式が一意な解を持つか」という問題と等価です。さらに、ラプラシアンの固有値・固有関数は、ポアソン方程式だけでなく、反応拡散方程式などの時間発展する偏微分方程式の解の構成の基礎にもなっています。

教科書

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ラプラシアンが可算個の正の固有値を持つことの証明

2022-10-23T03:53:58Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、ラプラシアンが可算個の正の固有値を持つことの証明を紹介します。

導入

$\Omega \subset \mathbb{R}^N$を有界な領域とし、

\[-\Delta u(x) = \lambda u(x)\]

\[u(x) = 0 \quad(x \in \partial \Omega)\]

を満たす$\lambda$と関数$u$を、（ディリクレ）ラプラシアンの固有値、固有関数と呼びます。どんな固有値や固有関数を持つのでしょうか。

1次元の場合は簡単でイメージしやすいでしょう（参考：1次元ラプラシアンの固有値問題の解き方、固有関数とは）

より具体的に、弱形式のラプラシアン$A=-\Delta$を考えましょう。$A:H_0^1(\Omega)\to H^{-1}(\Omega)$は、$\phi \in H_0 ^1 (\Omega)$に対し、

\[\langle A(u),\phi \rangle := a(u,\phi)\]

\[a(u,\phi):=\int_\Omega \langle \nabla u, \nabla \phi \rangle dx \]

と定義されています。

このラプラシアンの固有値は、次のような性質を持ちます。

固有値はすべて実数で、正であり、可算無限個。
$\lambda_{n} \leq \lambda_{n+1}$となるように番号付けするとき、$\lim_{n\to \infty}\lambda _n = \infty$
固有関数系$(w_n)$は、$H_0^1(\Omega)$の要素であり、$L^2(\Omega)$の完全正規直交系となる。

特に、最小の固有値$\lambda_1>0$をラプラシアンの主固有値（principal eigenvalue）と呼びます。

証明

ヒルベルト・シュミットの定理から導かれる、コンパクトな逆作用素を持つ対称作用素の性質に持ち込みましょう。

対称性

固有値が実数となることを示すために、$A$が対称作用素であることを示しましょう。

内積の対称性から、

\[\begin{aligned} &\langle A(u),v\rangle \\ &= a(u,v)\\&=\int_\Omega \langle \nabla u, \nabla v \rangle dx \\&= \int_\Omega \langle \nabla v, \nabla u \rangle dx\\&=a(v,u)\\ &=\langle A(v),u\rangle \end{aligned}\]

となるので、対称作用素です。

コンパクトな逆作用素を持つこと

ラプラシアンが$H_0^{-1}$を余定義域として逆作用素を持つことは別の記事にて示しました。

特に、$A^{-1}(f)=u$となるとき、$\|u\|_{H_0^1}= \|f\|_{H^{-1}}$となっています。

関数からは有界線形汎関数が定まるので、$L^2(\Omega)\subset H_0^{-1}(\Omega)$とみなせます。したがって、$A:L^2(\Omega) \to L^2(\Omega)$と見て、$A$は全射です。

$A^{-1}:L^2(\Omega) \to L^2(\Omega)$がコンパクト作用素であることを示しましょう。

$u \in L^2$を$H^{-1}$として見る、すなわち$\langle T_u ,v\rangle := \langle u,v\rangle_{L^2}$として定まる線形汎関数$T_u$について考えましょう。コーシー・シュワルツの不等式とポアンカレの不等式$\|v\|_{L^2}\leq C \|\nabla v\|_{L^2}=C\|v\|_{H_0^1}$から

\[\begin{aligned} & |\langle T_u ,v\rangle|\\ &\leq \|u\|_{L^2}\|v\|_{L^2} \\&= C\|u\|_{L^2}\|v\|_{H_0^1} \end{aligned}\]

となるので、作用素ノルムの定義から$\|T_u\|_{H^{-1}}\leq C\|u\|_{L^2}$です。

したがって、$f \in L^2$として、$A^{-1}$は有界作用素なので（有界逆作用素定理）、

\[\begin{aligned} &\|A^{-1}(f)\|_{H_0^1} \\ &=\|u\|_{H_0^1}\\&= \|T_u\|_{H^{-1}} \\&\leq C\|u\|_{L^2} \\&= C\|A^{-1}(f)\|_{L^2} \\& \leq C\|A^{-1}\|_{B(L^2,L^2)}\|f\|_{L^2} \end{aligned}\]

となります。これは$L^2$の有界集合の$A^{-1}$による像は$H_0^1$において有界であることを意味します。ポアンカレの不等式より、$H_0^1$で有界であることと$H^1$で有界であることは同値です。そして、レリッヒ・コンドラショフの定理より$H^1$の有界集合は$L^2$においてコンパクトです。

したがって、$L^2$における有界集合を$B$とすると、$A^{-1}(B)$は$H_0^1$において有界で、さらに$L^2$においてコンパクトになります。よって、$A^{-1}$がコンパクト作用素であることが示せました。

固有値が正であること

ラプラシアンが正値作用素であり、固有値がすべて正となることは別記事にて示しました。

ヒルベルト・シュミットの定理の適用

以上により、コンパクトな逆作用素を持つ作用素の固有値の性質が使えます。

$H$を可分なヒルベルト空間とし、その部分空間$D(G)$を定義域とする線形作用素$G:D(G)\to H$を考えます。さらに、$G$は対称で、全射$R(G)=H$で、可逆な作用素であり、逆作用素$G^{-1}$はコンパクトとします。

このとき、

固有値はすべて実数
（$H$が無限次元であるとき）固有値は可算無限個。
すべての固有値が正であるとき、すべての$n \in \mathbb{N}$に対し$|\lambda_{n+1}| \geq |\lambda_{n}|$」を満たすように固有値に番号付けするならば、$\lim_{n \to \infty} \lambda_n =\infty$
固有関数系$(w_n)$は、$H$の完全正規直交系（ヒルベルト基底）となる。
- $G(u) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle u,w_n\rangle w_n$と表せる。

となります。

$H=L^2(\Omega)$で、$G=A$、$D(A)=H_0^1(\Omega)$としています。$A$は対称で全射$R(A)=H$で、可逆であり、逆作用素はコンパクトなので、前提を満たしています。また、固有値はすべて正であることも示しました。また$L^2$は無限次元です。

よって、

固有値はすべて実数で、正であり、可算無限個。
$\lambda_{n} \leq \lambda_{n+1}$となるように番号付けするとき、$\lim_{n\to \infty}\lambda _n = \infty$
固有関数系$(w_n)$は、$H_0^1(\Omega)$の要素であり、$L^2(\Omega)$の完全正規直交系となる。

となることが示せました。

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正値作用素とは：例、固有値が正となることの証明

2025-06-19T01:15:08Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、正値作用素とは：例、固有値が正となることの証明を紹介します。

ああ

定義

コンパクトな対称作用素の固有値は可算個の実数列であるとわかりますが、その固有値がすべて正であると、$\lim_{n \to \infty}\lambda_n$と単調に増えるように並べられてより便利です。そのような性質を与える作用素の分類が、正値作用素です。

$H$をヒルベルト空間とし、線形作用素$F:D(F)\to H$について考えます。

$F$が正値作用素（positive operator）であるとは、「すべての$u \in D(F)$に対し、$\langle F(u),u\rangle_H \geq k \|u\|_H^2$」を満たす$k>0$が存在することです。

例

正定値行列

非常に簡単な例ですが、対角行列

\[ \begin{aligned}A = \begin{pmatrix} 2 & 0\\0&1 \end{pmatrix}\end{aligned} \]

によって決まる線形作用素$A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$は、正値作用素です。実際、

\[\begin{aligned} &\langle Ax,x\rangle_{\mathbb{R}^2} \\ &= 2x_1^2+x_2^2 \\& \geq x_1^2+x_2^2\\&= 1\cdot \|x\|_{\mathbb{R}^2}^2 \end{aligned}\]

となり、$k=1$は$x$に依存していません。

一般に、対称な正定値行列（すべての$x \in \mathbb{R}^N$に対し、$x \neq 0 $ならば$x^\top Ax >0$）は正値作用素です。

行列$A$は連続性、内積の連続性から、二次形式$f(x)= \langle Ax,x\rangle$は連続です。したがって、$B(0,1)=\{x \in \mathbb{R}^N \mid \|x\|=1\}$という有界な閉集合上で最小値を持ちます。そして$k:=\min _{\|x\| =1} \langle Ax,x\rangle>0 $です。もし$k=0$とすると、正定値行列であることに矛盾するので（背理法）。

$x=0$のとき、$A$の線形性、内積とノルムの正定値性から、$\langle Ax,x\rangle_H \geq k \|x\|_H^2$は両辺を0として成り立ちます。

$x \neq 0$のときは、行列の線形性、内積の線形性、$k$が最小値であることから

\[\begin{aligned} &\langle Ax,x\rangle_{\mathbb{R}^N} \\ &= \|x\|^2 \langle A(\frac{1}{\|x\|}x),\frac{1}{\|x\|}x\rangle \\ &\geq k \|x\|^2\end{aligned}\]

となります。よって、正値作用素となることが示せました。

つまり、正値作用素は正定値行列を一般化したものとして見ることができるわけです。

ラプラシアン

弱形式のラプラシアン$A=-\Delta$は、正値作用素の例です。

$A:H_0^1(\Omega)\to H^{-1}(\Omega)$で、$\phi \in H_0 ^1 (\Omega)$に対し、

\[\langle A(u),\phi \rangle := a(u,\phi)\]

\[a(u,\phi):=\int_\Omega \langle \nabla u, \nabla \phi \rangle dx \]

という定義です。

したがって、

\[\begin{aligned} &\langle A(u),u \rangle \\ &= a(u,u) \\&= \int_\Omega \langle \nabla u, \nabla u \rangle dx \\&= \int_\Omega |\nabla u|^2 dx\\&= \|\nabla u\|_{L^2}^2\\&= 1\cdot \|u\|_{H_0^1}^2\end{aligned}\]

となるので、正値作用素です。ここで$H_0^1$のノルムは、ポアンカレの不等式から簡略化したものを用いています。

固有値が正となること

正値作用素の固有値がすべて正となることを示しましょう。

$F(u)=\lambda u , u \neq 0$と仮定します。すると、内積とノルムの関係、内積と作用素の線形性、作用素の正値性から

\[\begin{aligned} \\&\lambda \|u\|_H^2 \\&=\langle \lambda u,u\rangle_H \\&=\langle F(u),u\rangle_H \\&\geq k \|u\|_H^2 \end{aligned}\]

となります。$u \neq 0$から両辺を$\|u\|^2 \neq 0$で割れば、$\lambda \geq k >0$が示せました。

以上、正値作用素とは：例、固有値が正となることの証明を紹介してきました。

この結果を用いれば、ラプラシアンが可算個の正の固有値を持つことを示せます。これについては別記事にて。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。

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ラプラシアンが可逆であることの証明

2022-10-21T07:07:14Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、ラプラシアンが可逆であること、ポアソン方程式が一意な弱解を持つことの証明を紹介します。

導入

ラプラシアンの固有値について調べるためには、それがコンパクトな逆作用素を持つことを示せば良いです。

今回はまず、ラプラシアンが逆作用素を持つことの証明をしましょう。

（有界な領域$\Omega$における）ポアソン方程式

\[-\Delta u (x)=f(x) \quad (x \in \Omega) \]

\[ u (x)=0 \quad (x \in \partial\Omega) \]

を弱形式にすると、すべての$\phi \in H_0 ^1 (\Omega)$に対し、

\[\int_\Omega \langle \nabla u, \nabla \phi \rangle dx = \int_\Omega f(x)\phi (x)dx \]

を満たすような$u \in H_0^1 (\Omega)$を求めよ、という問題になります。

ここで弱形式のラプラシアン$A=-\Delta$、$A:H_0^1(\Omega)\to H^{-1}(\Omega)$を、$\phi \in H_0 ^1 (\Omega)$に対し、

\[\langle A(u),\phi \rangle := a(u,\phi)\]

\[a(u,\phi):=\int_\Omega \langle \nabla u, \nabla \phi \rangle dx \]

と定義できます。$u \in H_0^1$を決めると、$A(u)$という$\phi \in H_0^1$を変数とする有界線形汎関数が決まる、という意味です。

証明

$A$が可逆であることを示しましょう。つまり、$f \in H^{-1}(\Omega)$に対し、（$H^{-1}$、有界線形汎関数としての方程式）$A(u)=f$がただひとつの解$u \in H_0 ^1$を持つことを示せば良いです。これはポアソン方程式が一意な弱解を持つことの証明にもなります。

有界線形汎関数であること

そのために、$A(u)$が$H_0^1$上の有界線形汎関数であること（$A(u) \in H^{-1}$）をまず示しましょう。

$\alpha$をスカラー、$v,w \in H_0^{1}(\Omega)$とします。微分と積分の線形性、内積の線形性から、

\[\begin{aligned} & \langle A(u),\alpha v+w \rangle\\ &= a(u,\alpha v+w)\\&=\int_\Omega \langle \nabla u, \nabla (\alpha v+w) \rangle dx \\&=\int_\Omega \langle \nabla u, \alpha \nabla v+\nabla w \rangle dx \\&= \int_\Omega \alpha \langle \nabla u, \nabla v \rangle dx+ \int_\Omega \langle \nabla u, \nabla w \rangle dx \\&=\alpha a(u,v)+a(u,w) \\&= \alpha \langle A(u),v \rangle+\langle A(u),w \rangle\end{aligned}\]

となるので、$A(u)$は線形作用素（特に実数値なので、線形汎関数）です。

また、$\Omega$が有界領域なので、ポアンカレの不等式から導かれる$H_0^1$内積に関するコーシー・シュワルツの不等式から、

\[\begin{aligned} &|\langle A(u), \phi \rangle| \\ &= | a(u,\phi)|\\&= |\int_\Omega \langle \nabla u, \nabla \phi \rangle dx | \\&= |\langle u,\phi \rangle_{H_0^1}| \\ &\leq \|u\|_{H_0^1}\|\phi\|_{H_0^1}\end{aligned}\]

となり、$u\in H_0^1$であることから、$\phi$に依存しない定数$\|u\|_{H_0^1}$で評価できています。よって、$A(u)$は有界作用素です。

リースの表現定理の適用

ここで関数解析の基本的な定理、リースの表現定理を利用しましょう。

リースの表現定理（Riesz representation theorem）

$H$をヒルベルト空間（完備な内積空間）、$H^{*}$をその双対空間とする。

どんな有界線形汎関数$\ell \in H^{*}$に対しても、次の条件を満たす$x_\ell \in H$が一意に存在する。

すべての$y \in H$に対し、$\langle \ell ,y\rangle= \langle x_{\ell},y \rangle_H $

また、$\|x_\ell\|_H=\|\ell\|_{H^{*}}$である。

$H=H_0^1(\Omega)$とすると、その双対空間は$H^{*}=H^{-1}(\Omega)$です（そもそも$H^{-1}$の定義が$H_0^1$の双対空間なので）。

よってリースの表現定理から、$f \in H^{-1}$に対し、$\langle f,\phi\rangle =\langle u, \phi\rangle_{H_0^1}$を満たす$u \in H_0^1$が存在します。

ここでさきほどの計算から、$\langle A(u), \phi \rangle=\langle u, \phi\rangle_{H_0^1}$でもありました。このような$u$は（$f$に応じて）一意なので、弱形式のポアソン方程式）$A(u)=f$の解$u$が一意に存在することが示せました。

これは$A$が可逆であることも意味しています。与えられた$f \in H^{-1}$に対し、$A^{-1}(f)=u$と定めれば、$A^{-1}:H^{-1}(\Omega)\to H_0^1(\Omega)$がラプラシアンの逆作用素です。

また、$\|u\|_{H_0^1}= \|f\|_{H^{-1}}$となっています。

以上、ラプラシアンが可逆であること、ポアソン方程式が一意な弱解を持つことの証明を紹介してきました。

このラプラシアンが対称な線形作用素で、さらに逆作用素がコンパクトであることを示せば、固有値の性質が引き出せます。これについては別記事にて。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。

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コンパクトな逆作用素を持つ作用素の固有値の性質

2022-10-20T05:06:54Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、コンパクトな逆作用素を持つ作用素の固有値の性質を紹介します。

コンパクトな逆作用素を持つ作用素の固有値の性質

ラプラシアン$A:=-\Delta, A:L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)$は、非有界な作用素であり、そのままでは固有値に関する一般論：ヒルベルト・シュミットの定理は利用できません。

しかし$A$はコンパクトな逆作用素$A^{-1}$を持つことが知られています。その逆作用素に対してヒルベルト・シュミットの定理を適用することができ、$A$の固有値に関する性質が引き出せます。

これはラプラシアンに限らず、コンパクトな逆作用素を作用素全般に使える次のような主張です。

このとき、

固有値はすべて実数
固有値は多くても可算無限個。
すべての固有値が正であるとき、すべての$n \in \mathbb{N}$に対し$|\lambda_{n+1}| \geq |\lambda_{n}|$」を満たすように固有値に番号付けするならば、$\lim_{n \to \infty} \lambda_n =\infty$
固有関数系$(w_n)$は、$H$の完全正規直交系（ヒルベルト基底）となる。
- $G(u) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle u,w_n\rangle w_n$と表せる。

となります。

証明

では証明していきましょう。

$G$は対称な線形作用素なので、その逆作用素の性質から$G^{-1}$も対称な線形作用素です。また$G^{-1}$は仮定よりコンパクトで、定義域は全体$D(G^{-1})=R(G)=H$なので、次のヒルベルト・シュミットの定理が適用できます。

$H$を可分なヒルベルト空間、$F:H \to H$をコンパクトで対称な線形作用素とする。

固有値はすべて実数
固有値は多くても可算無限個。「すべての$n \in \mathbb{N}$に対し$|\lambda_{n+1}| \leq |\lambda_{n}|$」を満たすように固有値に番号付けするならば、$\lim_{n \to \infty} \lambda_n =0$
固有関数系$(w_n)$は、像$F(H)$の完全正規直交系（ヒルベルト基底）となる。
- 特に、$F(u) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle u,w_n\rangle w_n$と表せる。
さらに、$F$が可逆（単射）ならば、固有関数系は全体$H$の完全正規直交系となる。

$G^{-1}$の可算個の固有値を$(\mu_n)_n$、対応する固有関数を$(w_n)_n$としましょう。これらはすべて実数で、$|\mu_{n+1}| \leq |\mu_{n}|$を満たすように並べていて、$\lim_{n \to \infty} \mu_n =0$。また、逆作用素が存在し、$G^{-1}$は単射であることから、ゼロ固有値は持ちません。

逆作用素と固有値の関係から、$G^{-1}(w_n)=\mu_n w_n$と$G(w_n)= \frac{1}{\mu_n}w_n$は同値です。そこで、$\lambda_n = \frac{1}{\mu_n}$とおきましょう。

$(\lambda_n)_n$は$G$の固有値、$(w_n)$は$G$の固有関数です。$|\mu_{n+1}| \leq |\mu_{n}|$は$|\lambda_{n+1}| \geq |\lambda_{n}|$に対応します。また、固有値が正であるという仮定のとき、$\lim_{n \to \infty} \mu_n =0$は$\lim_{n \to \infty}\lambda_n =\infty$に対応します。

また、$G^{-1}$は可逆なので（$G$がその逆作用素）、固有関数系$(w_n)_n$は、$H$の完全正規直交系となります。

$u= \sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle u,w_n\rangle w_n$と展開するならば、$G$の線形性と固有値の性質から$G(u)=\sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle u,w_n\rangle G(w_n)= \sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle u,w_n\rangle w_n$です。

よって、提示した内容が証明できました。

以上、コンパクトな逆作用素を持つ作用素の固有値の性質を紹介してきました。

作用素はすべてが有界とは限りません。しかし、逆作用素があってコンパクトでありさえすれば、固有値に関する一般論が利用できるのは便利ですね。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。

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逆作用素の性質：線形性、固有値、対称性に関する証明

2022-10-19T03:53:41Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、逆作用素の性質：線形性、固有値、対称性に関する証明を紹介します。

逆作用素の性質

$X,Y$をノルム空間、$D(F)$を$X$の部分空間、$F:D(F) \to Y$を線形作用素とします。

$F$が可逆作用素であるとき、$F(u)=v$が$u =F^{-1}(v)$と同値になるような逆作用素$F^{-1}:R(F)\to D(F)$を考えることができました。

今回は、$F$の条件に応じて$F^{-1}$が良い性質を持つことを証明します。

線形性

$F$が線形作用素であるとき、$F^{-1}$は線形作用素です。

$\alpha$をスカラー、$v_1,v_2 \in R(F)$とします。値域の定義から、$u_1,u_2 \in D(F)$で$F(u_1)=v_1,F(u_2)=v_2$を満たすものが存在します。逆作用素の定義から、$u_1=F^{-1}(v_1),u_2 =F^{-1}(v_2)$です。

このとき、$F$の線形性から、$F(\alpha u_1 +u_2)=\alpha F(u_1)+F(u_2)=\alpha v_1+v_2$です。再び逆作用素の定義から、$F^{-1}(\alpha v_1+v_2)= \alpha u_1+u_2=\alpha F^{-1}(v_1)+F^{-1}(v_2)$となるので、$F^{-1}$の線形性が示せました。

固有値、固有ベクトル

$H=X=Y$を内積空間とします。

$F$のゼロでない固有値と固有ベクトル$F(u)=\lambda u$は、逆作用素において$F^{-1}(u)= \frac{1}{\lambda} u$と対応します。つまり、逆作用素の固有値は逆数に、固有関数はそのまま固有関数になっています。

$F(u)=\lambda u$の両辺に$F^{-1}$を作用させると、逆作用素の性質$F^{-1}(F(u))=u$、線形性から$u= \lambda F^{-1}(u)$です。よって、$\lambda$で割れば$F^{-1}(u)= \frac{1}{\lambda} u$です。

$F(F^{-1}(u))=u$でもあるので、この議論は逆にたどることができます。

ゼロ固有値$F(u)= 0 u$のときを考えましょう。$F(u)=0$であり、$F$の可逆性（単射性）から$u=0$です。これは固有ベクトルの定義（ゼロベクトルでないこと）に反します。つまり、可逆な作用素にはゼロ固有値は存在しません。$\lambda \neq 0$と仮定して議論して良いわけです。

対称性

$F$が対称作用素ならば、$F^{-1}$も対称作用素です。

$F$が対称であるとは、$u,v \in D(F)$に対し$\langle u,F(v)\rangle_H=\langle F(u),v\rangle_H$が成り立つことです。

$F^{-1}$が対称であることを示すために、$v_1,v_2 \in D(F^{-1})=R(F)$としましょう。値域の定義から、$F(u_1)=v_1,F(u_2)=v_2$を満たす$u_1,u_2 \in D(F)$が存在します。

したがって、$F$の対称性、逆作用素の性質から

\[\begin{aligned} &\langle v_1,F^{-1}(v_2)\rangle_H\\&=\langle F(u_1),F^{-1}(v_2)\rangle_H \\ &= \langle u_1,F(F^{-1}(v_2))\rangle_H\\&= \langle F^{-1}(v_1),v_2\rangle_H \end{aligned}\]

となり、$F^{-1}$が対称作用素であることが示せました。

以上、逆作用素の性質：線形性、固有値、対称性に関する証明を紹介してきました。

これらの性質から、$F$がコンパクトな逆作用素を持つならば、ヒルベルト・シュミットの定理から固有値に関する情報を引き出すことができます。これについては別記事にて。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。

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可逆作用素、逆作用素とは：定義、例を解説

2022-10-21T01:12:31Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、可逆作用素、逆作用素の定義、例を紹介します。

導入

ラプラス方程式や熱方程式などの偏微分方程式の問題において、ラプラシアン$-\Delta$の固有値や固有関数は重要です。

ただしラプラシアンは一般に非有界な作用素であり、コンパクトな対称作用素が持つ固有値の性質（ヒルベルト・シュミットの定理）がそのままでは利用できません。

しかし、ラプラシアンは逆作用素というものを考えることで、それがコンパクトな対称作用素となることを通じて、固有値や固有関数を調べることができます。

逆作用素の定義

では、逆作用素について考えていきましょう。

$X,Y$をノルム空間、$F:D(F) \to Y$を線形作用素とします。$X$の部分空間$D(F)$は$F$の定義域（domain）と呼び、必ずしも$X$全体でなくて良いものとしましょう。

$F$が可逆作用素（invertible operator）であるとは、$F$が$D(F)$において単射であること、すなわち「$u_1,u_2 \in D(F), u_1 \neq u_2$ならば$F(u_1)\neq F(u_2)$となること」です。

核の言葉を使えば、これは$\ker F =\{0\}$と同値です（定義域が$D(F)$であることに注意：$\ker F:=\{u \in D(F) \mid F(u)=0\}$）。

単射の定義の対偶を考えれば、「すべての$v \in R(F)$に対し、$u \in D(F)$を変数とする方程式$F(u) =v$は一意な解を持つ」と言い換えられます。ここで$R(F)=\mathrm{Im}(F)$は$F$の値域（range）、像です。

$F$が可逆であるとき、$F^{-1}:R(F)\to D(F)$を$F^{-1}(v)=u$（$v$に対し、$F(u)=v$の解$u$を対応させる）によって定義できます。この作用素$F^{-1}$が逆作用素（inverse operator）です。

$F$が可逆で、$F^{-1}$が$F$の逆作用素であることは、

すべての$v \in R(F)$に対し、$F(F^{-1}(v))=v$
すべての$u \in D(F)$に対し、$F^{-1}(F(u))=u$

の2つを満たす作用素$F^{-1}$が存在すること同値です。これを証明しましょう。

まず、$F$が可逆で、$F^{-1}$を$F$の逆作用素とします。$v \in R(F)$に対し、$F$が可逆であることから、$F(u)=v$、$F^{-1}(v)=u$を満たす$u \in D(F)$が存在します。したがって、これらを組み合わせれば$F(F^{-1}(v))=F(u)=v$です。また、$u \in D(F)$に対し、$F(u)=F(u), F(u) \in R(F)$なので、逆作用素の定義から$F^{-1}(F(u))=u$です。

逆に、2つの条件を満たす作用素$F^{-1}$が存在したとしましょう。$v \in R(F)$に対し、方程式$F(u)=v$は、$u=F^{-1}(v)$という解を持ちます。$F(F^{-1}(v))=v$が成り立っているからです。その解が一意であることを示すために、$F(u_1)=F(u_2) =v$と仮定しましょう。$F^{-1}$を作用させると、前者の条件から$u_1 =F^{-1}(F(u_1))=F^{-1}(F(u_2))=u_2$となるので、一意性が示せました。よって$F$は可逆です。さらに、$u:=F^{-1}(v)$と置くと、$F(F^{-1}v)=v$からそれは$F(u)=v$の解となるので、$F^{-1}$は逆作用素です。

（ちなみに、逆作用素は存在すれば一意です。）

例

行列と逆行列

$A$を$N$次の正方行列、特に可逆行列としましょう。行列が可逆であることと単射であることは同値なので、$A$は可逆な作用素です。定義域、値域はともに$D(A)=R(A)=\mathbb{R}^N$です。

逆行列$A^{-1}$が$A$の逆作用素です。実際、逆行列の定義から$AA^{-1}=A^{-1}A=I$を満たします。これはさきほどの条件

すべての$v \in R(F)$に対し、$F(F^{-1}(v))=v$
すべての$u \in D(F)$に対し、$F^{-1}(F(u))=u$

と同値です。したがって、$A^{-1}$は逆作用素です。

微分作用素と積分作用素

$\Omega =[0,1] \subset \mathbb{R}$として、$F:L^{2}(\Omega)\to L^2(\Omega)$を$[F(u)](x) =\frac{du}{dx}(x)$という単純な微分作用素を考えましょう。ただし定義域は微分可能であるように、$D(F)=\{ u \in C^{1}(\Omega) \mid u(0)=0\}$とします。

さて、この作用素は可逆でしょうか？　可逆だとしたら、逆作用素は何でしょうか。

微分と積分は逆関係、微分積分学の基本定理を思い出すと判定できるでしょう。$F^{-1}:R(F)\to D(F)$を

\[[F^{-1}(v)](x): = \int_0^x v(y)dy\]

によって定めます。微積分学の基本定理より、

\[\begin{aligned} &F( F^{-1}(v))(x)\\ &= \frac{d}{dx} \int_0^x v(y)dy \\ &= v(x)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &F^{-1}( F(u))(x)\\ &= \int_0^x \frac{du}{dy}(y)dy \\ &=[u(y)]_{y=0}^{y=x} \\&=u(x)\end{aligned}\]

となるので、$F$は可逆で、積分作用素$F^{-1}$が逆作用素となることが示せました。

微分作用素は$L^2$ノルムで非有界でした。この例は、非有界な作用素の逆作用素は有界となりうることを示しています。

逆に見れば、積分作用素の逆作用素は微分作用素です。したがって、有界作用素の逆作用素は有界作用素とは限りません。

以上、可逆作用素、逆作用素の定義、例を紹介してきました。

$F$が対称であったり非有界であっても、条件を課せば逆作用素$F^{-1}$は対称で有界な作用素になるという良い性質を持ちます。これについては別記事にて。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。

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グリーン関数とは：常微分方程式の場合を簡単に

2022-10-17T06:35:15Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、グリーン関数について、常微分方程式の場合を簡単に紹介します。

グリーン関数とは

グリーン関数は、非同次の微分方程式の解を積分を使って表すために用いられる2変数関数$G(x,y)$です。非同次項を$f$として、$u(x) = \int_a^b G(x,y) f(y)dy $と表せます。

偏微分方程式、多次元の場合にもグリーン関数を考えることはできますが、今回は常微分方程式、1次元の場合を考えましょう。

ストゥルム・リウビル型の微分方程式

\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x)) + \{q(x)+ \lambda r(x)\}u(x) =0\end{aligned} \]

\[ u(a)=u(b)=0 \]

の固有値の議論では、

\[\begin{aligned} u(x) = \int_a^b G(x,y)\lambda r(y)u(y) dy \end{aligned}\]

\[G(x,y)=G(y,x)\]

という条件を満たす関数$G(x,y)$を利用しました。これがグリーン関数です。

もう少し一般化すると、次のような枠組みです。1次元の区間$[a,b]$において、

\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x)) + q(x)u(x) =f(x)\end{aligned} \]

\[u(a)=u(b)=0\]

という微分方程式を考えます。これは2階で非同次の線形微分方程式の境界値問題と呼ばれるものです。ただし$p,q,f$は連続関数で、$p(x)>0$とします。（ここでは単純化してディリクレ境界条件を考えましたが、もう少し一般的な形の境界値を考えることができます。）

ここで同次方程式$ \begin{aligned}\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x)) + q(x)u(x) =0\end{aligned} $の解$u_1,u_2$で

$u_1(a)=0$、$p(a)\frac{du_1}{dx}(a)=1$
$u_2(b)=0$、$p(b)\frac{du_2}{dx}(b)=1$
$u_1,u_2$は線形独立

を満たすものが存在したとしましょう。

このとき、方程式の解は

\[\begin{aligned} u(x) = \int_a^b G(x,y) f(y)dy \end{aligned}\]

と表せて、

\[G(x,y)=G(y,x)\]

を満たす$G(x,y)$が構成できます。これがグリーン関数（Green’s function）です。

グリーン関数の導出

グリーン関数を、ある程度の議論を前提として、ラフに導出してみましょう。

グリーン関数は

\[ G(x,y)= \left\{ \begin{array}{lr} -\frac{1}{K}u_1(x)u_2(y) && (a\leq x \leq y) \\-\frac{1}{K}u_1(y)u_2(x) && (yと定義できます。ただし、

\[K:=p(x)[\frac{du_1}{dx}(x)u_2(x)-u_1(x)\frac{du_2}{dx}(x)]\]

です。$u_1,u_2$が同次方程式の解で線形独立であるとき、$K$は定数で、かつ$K \neq 0$となることが知られています（グリーンの公式、ラグランジュの恒等式）。

こうして定義した$G(x,y)$がさきほど示した条件を満たすことを確認してみましょう。

対称性

$x=y$のときは$G(x,y)=G(y,x)$は当然成り立つので、$x \neq y$のときを考えます。

\(x

\[ G(x,y)= \left\{ \begin{array}{lr} -\frac{1}{K}u_1(x)u_2(y) && (a\leq x \leq y) \\-\frac{1}{K}u_1(y)u_2(x) && (y\[ G(y,x)= \left\{ \begin{array}{lr} -\frac{1}{K}u_1(y)u_2(x) && (a\leq y \leq x) \\-\frac{1}{K}u_1(x)u_2(y) && (xとなり、両者は一致します。

\(y

境界条件

\[\begin{aligned} u(x) = \int_a^b G(x,y) f(y)dy \end{aligned}\]

が境界条件$u(a)=u(b)$を満たすこと、特に$G(a,y)=G(b,y)=0$を示しましょう。

$u_1,u_2$は境界条件$u_1(a)=0,u_2(b)=0$を満たすことから

\[ G(a,y)= \left\{ \begin{array}{lr} -\frac{1}{K}u_1(a)u_2(y) && (a\leq a \leq y) \\-\frac{1}{K}u_1(y)u_2(a) && (y\[ G(b,y)= \left\{ \begin{array}{lr} -\frac{1}{K}u_1(b)u_2(y) && (a\leq b \leq y) \\-\frac{1}{K}u_1(y)u_2(b) && (yとなるので、境界条件を満たします。

方程式を満たすこと

\[\begin{aligned} u(x) = \int_a^b G(x,y) f(y)dy \end{aligned}\]
が方程式を満たすことを示しましょう。

積分の部分を分解すると、

\[\begin{aligned} & \int_a^b G(x,y) f(y)dy \\ &= -\frac{1}{K}[u_2(x)\int_a^x u_1(y)f(y)dy+ u_1(x)\int_x^b u_2(y)f(y)dy ]\end{aligned}\]
となります。これを微分すると、積の微分法則と微積分学の基本定理から、

\[\begin{aligned} &\frac{du}{dx}(x)\\& = -\frac{1}{K}[\frac{du_2}{dx}(x)\int_a^x u_1(y)f(y)dy+u_2(x)u_1(x)f(x) \\&\quad +\frac{du_1}{dx}(x)\int_x^b u_2(y)f(y)dy-u_2(x)u_1(x)f(x) ]\\ &= -\frac{1}{K}[\frac{du_2}{dx}(x)\int_a^x u_1(y)f(y)dy+\frac{du_1}{dx}(x)\int_x^b u_2(y)f(y)dy] \end{aligned}\]
となります。$p$をかけて微分すると、$u_1,u_2$が同次方程式の解であったことからキャンセルが起こり、

\[\begin{aligned} &\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x)) +q(x)u(x)\\ &= -\frac{1}{K}[\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du_2}{dx}(x))\int_a^x u_1(y)f(y)dy\\&\quad+p(x)\frac{du_2}{dx}(x)u_1(x)f(x)\\ &\quad+\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du_1}{dx}(x))\int_x^b u_2(y)f(y)dy\\&\quad-p(x)\frac{du_2}{dx}(x)u_2(x)f(x) ] \\&\quad -\frac{q(x)}{K} [u_2(x)\int_a^x u_1(y)f(y)dy+ u_1(x)\int_x^b u_2(y)f(y)dy ]\\&= -\frac{1}{K}[p(x)\frac{du_2}{dx}(x)u_1(x)-p(x)\frac{du_1}{dx}(x)u_2(x)]f(x)\\ &=f(x)\end{aligned}\]
が成り立つことが示せました。
今回は解の形$u(x) = \int_a^b G(x,y) f(y)dy $を「先に知った」上で解となることを示しましたが、この形を導出することもできます。境界条件を考慮しない方程式の一般解は定数変化法で求められ、その係数を境界条件に合わせて求めればグリーン関数の形に至ります。

以上、グリーン関数について、常微分方程式の場合を簡単にを紹介してきました。

方程式の解を「核となる関数との積分（畳み込み）」として表示するグリーン関数、または基本解の方法は、偏微分方程式、ラプラス方程式の場合にも通用するものです。その簡単なケースとして、まずは常微分方程式の場合を知っておくと良いでしょう。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。

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ノルム空間の有限次元部分空間が閉集合であることの証明

2022-10-16T05:52:29Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、ノルム空間の有限次元部分空間が閉集合であることの証明を紹介します。

導入

関数空間など無限次元の空間では、部分空間が閉集合であるとは限らず、閉部分空間かどうかを気にすることがあります。

しかし、たとえ全体が無限次元のノルム空間であっても、有限次元の部分空間は必ず閉集合となります。

すなわち、$X$をノルム空間、$A$をその有限次元の部分空間とすると、$A$は閉集合、閉部分空間です。

証明

$A$が閉集合であること、$(a_n)$を$A$の点列とし、$X$においてそれが収束する$a_n \to a , a\in X$ならば、$a \in A$となることを示します。

$A$は有限次元の線形空間なので、その次元に等しい$\mathbb{R}^N$に同型です。また、有限次元の線形空間においてはすべてのノルムが同値であり、$\mathbb{R}^N$は完備なので、$A$は（ノルム空間として）完備です。

一般に収束する点列はコーシー列なので、$(a_n)$は$A$のコーシー列です。したがって、$A$の完備性から$(a_n)$は$A$において収束します$a_n \to b , b \in A$。極限の一意性から$b=a \in A$です。よって、$A$が閉集合であると示せました。

以上、ノルム空間の有限次元部分空間が閉集合であることの証明を紹介してきました。

有限次元の線形空間が同型、ノルムが同値となることを利用する議論は、有限ランク作用素と似ていますね。全体が無限次元の空間であっても、有限次元の部分空間は良い性質を持つことを利用していきましょう。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。

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ストゥルム・リウビル型微分方程式の固有値の性質の証明

2022-10-17T04:25:51Z

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、ストゥルム・リウビル型微分方程式の固有値の性質の証明を紹介します。

導入

ストゥルム・リウビル型微分方程式とは、

\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x)) + \{q(x)+ \lambda r(x)\}u(x) =0\end{aligned} \]
\[ u(a)=u(b)=0 \]
を満たす$\lambda$、$u(x)$を見つける問題です。

ここで、変数$x$は$\mathbb{R}$の有界な閉区間$[a,b]$上で動き、$p,q,r$は連続関数で常に$p(x)>0,q(x)<0,r(x)>0$、$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$は定数です。

$\lambda$をパラメータと考え、その$\lambda$に対して方程式に非自明な解$u$が存在するとき、その$\lambda$を固有値、対応する解$u(x)$を固有関数と呼びます。

そして、次の結果が知られています。（ストゥルム・リウビルの理論）

固有値は可算無限個存在し、すべて実数である。その最小のものを$\lambda _1$とすると、$\lambda_1>0$で、

\[ \begin{aligned} \lambda_1 <\lambda_2 <\cdots\end{aligned} \]
で、$\lambda_n \to \infty (\mathrm{as}\; n\to \infty)$。

異なる固有関数は$r$の重み付き内積に関して直交する$\int_a ^b r(x)w_k w_n dx=0 $。さらに、重み$r$つきの$L^2$空間の完全正規直交基底となる。

今回はこの結果を、ヒルベルト・シュミット作用素とヒルベルト・シュミットの定理に持ち込むことで証明しましょう。

証明

方針

重み$r$つきの$L^2$空間を

\[L^2_r(a,b):=\{u \in L^2((a,b)) \mid \|u\|_{L_r ^2}< \infty\} \]
とし、内積とノルムは

\[ \begin{aligned}\langle u,v\rangle_{L_r^2}:=\int _a ^b u(x)v(x) r(x)dx\end{aligned} \]
により導かれるものとします。

ヒルベルト・シュミットの定理

$H$ を可分なヒルベルト空間、$F:H \to H$をコンパクトで対称な線形作用素とする。このとき、次のことが成り立つ。

固有値はすべて実数

固有値は多くても可算無限個。「すべての$n \in \mathbb{N}$に対し$|\lambda_{n+1}| \leq |\lambda_{n}|$」を満たすように固有値に番号付けするならば、$\lim_{n \to \infty} \lambda_n =0$

固有関数系$(w_n)$は、像$F(H)$の完全正規直交系（ヒルベルト基底）となる。

特に、$F(u) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle u,w_n\rangle w_n$と表せる。

さらに、$F$が可逆（単射）ならば、固有関数系は全体$H$の完全正規直交系となる。

を$H:= L^2(a,b)$として適用できるようにしましょう。

そのためには、ストゥルム・リウビル微分方程式をコンパクトな対称作用素の問題に置き換える必要があります。特に、ヒルベルト・シュミット作用素

\[[K(u)](x): = \int_{\Omega}k(x,y)u(y)dy\]
に落とし込むようにしていきます。

ヒルベルト・シュミット作用素への落とし込み

作用素$L: H\to H$を

\[[L(u)](x):=-\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x)) – q(x)u(x) \]
と定めましょう（ストゥルム・リウビル作用素という）。もとの問題は、$[L(u)](x)=\lambda r(x)u(x)$と表せます。

2階線形微分方程式の非同次の境界値問題の解として、

\[L(G)=\delta(x-y)\]
\[G(x,a)=G(x,b)=0\]
\[G(x,y)=G(y,x)\]
\[\begin{aligned} u(x) \\ &= \int_a^b G(x,y)\lambda r(y)u(y) dy \end{aligned}\]
を満たす2変数の連続関数：グリーン関数（Green’s function）$G(x,y)$が知られています。ただし$\delta$はデルタ関数です。これを満たす$u$があればストゥルム・リウビル微分方程式の解であり、問題は同値となっています。

ヒルベルト・シュミット積分作用素の形に近づいてきました。$r(x)>0)$に注意して、$k(x,y)=G(x,y)\sqrt{r(x)r(y)}$、$v(x)=\sqrt{r(x)}u(x)$と置くと、方程式は

\[\frac{1}{\lambda} v = \int_a^b k(x,y)v(y)dy\]
となります。重み$r(x)$を含めてひとつの関数として扱うため、それを$\sqrt{r(x)}$として分割しました。$\lambda$で割っていますが、それは後の議論で$\lambda>0$となるので正当化されます。

$G,r$は連続なので、$k \in L^2((a,b)\times(a,b))$です。さらに、$G(x,y)=G(y,x)$なので、$k(x,y)=G(x,y)\sqrt{r(x)r(y)}=G(y,x)\sqrt{r(y)r(x)}=k(y,x)$です。したがって、

\[[K(v)](x): = \int_a^b k(x,y)v(y)dy\]
と置けば、$K:L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)$は対称なヒルベルト・シュミット作用素です。問題は

\[Kv =\frac{1}{\lambda} v\]
と書き換えられています。

固有値が正であること

固有値が実数であることはこれまでの議論で示せるので、ここでは固有値$\lambda$が実数として、必ず正となること$\lambda>0$を示しましょう。

$\lambda$を固有値、$u$を固有関数とすると、$[L(u)](x)=\lambda r(x)u(x)$です。両辺で$u$との内積を取れば、

\[\begin{aligned} &\langle L(u),u \rangle_{L^2} \\ &=\lambda \langle u,ur\rangle_{L^2} \end{aligned}\]
を満たします（これはレイリー商の考え方です）。

一方で、左辺を下から不等式評価していきましょう。部分積分、境界条件$u(a)=u(b)=0$、$p(x)>0$、$1 \geq \frac{r(x)}{\sup_{x \in[a,b]}r(x)}$であることに注意して、

\[\begin{aligned} &\langle L(u),u \rangle_{L^2} \\ &=\int_a^b -\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x))u(x) – q(x)(u(x))^2 dx \\ &=\int_a^bp(x) (\frac{du}{dx}(x))^2 – q(x)(u(x))^2 dx \\ &\quad -[p(x) \frac{du}{dx}(x)u(x)]_{x=a}^{x=b} \\ & \geq \int_a^b – q(x)(u(x))^2 dx\\ & \geq \inf_{x \in[a,b]}(-q(x)) \int_a^b (u(x))^2 dx\\& \geq\inf_{x \in[a,b]}(-q(x)) \int_a^b (u(x))^2 \frac{r(x)}{\sup_{x \in[a,b]}r(x)}dx\\ &= \frac{\inf_{x \in[a,b]}(-q(x)) }{\sup_{x \in[a,b]}r(x)} \langle u,ur\rangle_{L^2}\end{aligned}\]
となります。$q,r$の連続性より最大値・最小値が存在するので、$q(x)<0$より$\inf_{x \in [a,b]}(-q(x))>0$で（もし最小値が0になるならば、$-q(x)>0$に矛盾する）、$\sup_{x \in[a,b]}r(x)<\infty$です。したがって、$\alpha:=\frac{\inf_{x \in[a,b]}(-q(x)) }{\sup_{x \in[a,b]}r(x)} >0$です。

よって、等式と不等式を組み合わせれば、$\lambda \langle u,ur\rangle_{L^2} \geq \alpha \langle u,ur\rangle_{L^2} $です。固有関数を考えているので$u\neq 0$で、重み付き内積の正定値性より$\langle u,ur\rangle_{L^2} =\langle u,u\rangle_{L_r^2}>0$です。したがって、両辺をこれらで割れば$\lambda \geq \alpha >0$が示せました。

固有値・固有関数系の存在

ヒルベルト・シュミットは、コンパクト作用素です。したがって、ヒルベルト・シュミットの定理から、$H=L^2((a,b))$として

固有値はすべて実数

固有値は可算無限個。$Kv =\frac{1}{\lambda}v$という形で、固有値は正なので、「$|\lambda_{n+1}| \leq |\lambda_{n}|$」は$\lambda_n \leq \lambda_{n+1}$、$\lambda_1>0$に、「$\lim_{n \to \infty} \lambda_n =0$」は$\lim_{n \to \infty }\lambda_n=\infty$に対応します。

固有関数系$(\phi_n)_n$は、像$K(H)$の完全正規直交系（ヒルベルト基底）となる。

特に、$K(v) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle v,\phi_n\rangle \phi_n$と表せる。

さらに、$K$が可逆（単射）ならば、固有関数系は全体$H$の完全正規直交系となる。

が成り立ちます。

$K$が単射であること、すなわち$\ker K=\{0\}$を示しましょう。一般に$\ker K\supset\{0\}$なので、$\ker K\subset\{0\}$を示せば良いです。$v \in \ker K$とすると、$Kv=0$です。話を遡ると、$v$から定まる$u$はストゥルム・リウビル方程式を満たし、したがって$Kv =\frac{1}{\lambda} v$を満たします。よって、$v=0$が示せました。

これにより、$(\phi_n)$は$L^2((a,b))$の完全正規直交系です。

$w_n = \frac{\phi_n(x)}{\sqrt{r(x)}}$と置くことで、$(w_n)_n$が$L^2_r(a,b)$の完全正規直交系となることを示しましょう。

\[\begin{aligned} &\langle w_i,w_j\rangle_{L_r^2} \\ &= \int_a^b\frac{\phi_i(x)}{\sqrt{r(x)}}\frac{\phi_j(x)}{\sqrt{r(x)}} r(x)dx\\ &= \langle \phi _i,\phi_j\rangle_{L^2} \end{aligned}\]
となり、$(\phi_n)$は$L^2((a,b))$の正規直交系なので、$(w_n)_n$は$L^2_r(a,b)$の正規直交系です。

また、$f \in L^2_r(a,b)$とすると、$f\sqrt{r} \in L^2((a,b))$です。これを$(\phi_n)_n$の完全性によって展開すれば、

\[f(x)\sqrt{r(x)}= \sum_{n=1}^\infty \langle f\sqrt{r},\phi_n \rangle_{L^2} \phi_n\]
となるので、

\[\begin{aligned} & f(x)\\ &= \sum_{n=1}^\infty \langle f\sqrt{r},\phi_n \rangle_{L^2}\frac{\phi_n(x)}{\sqrt{r(x)}}\\&= \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f(x) \frac{\phi_n(x)}{\sqrt{r(x)}} r(x)dx \frac{\phi_n(x)}{\sqrt{r(x)}} \\&=\sum_{n=1}^\infty \langle f\sqrt{r},w_n \rangle_{L_r^2}w_n\end{aligned}\]
となるので、$(w_n)_n$が$L^2_r(a,b)$の完全正規直交系となることが示せました。

この展開は、一般フーリエ級数展開、固有関数展開と呼ばれます。

以上、ストゥルム・リウビル型微分方程式の固有値の性質の証明を紹介してきました。

これはフーリエ級数展開の一般化となるような結果ですが、コンパクトな対称作用素の固有値の理論という一般論を知っていると見通しが良いですね。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。

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