有界線形作用素のなす空間B(X,Y)がバナッハ空間となることの証明

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、有界線形作用素のなす空間\(B(X,Y)\)がバナッハ空間となることの証明を紹介します。

\(X,Y\)をノルム空間としましょう。

\(Y\)がバナッハ空間（完備なノルム空間）ならば、\(B(X,Y)\)はバナッハ空間となります。

例えば、\(X\)の双対空間（有界線形汎関数のなす空間）\(B(X,\mathbb{R})\)は、\(\mathbb{R}\)がバナッハ空間なので、バナッハ空間です。\(X\)の完備性とは関係ないことに注意しましょう。

証明していきましょう。

\(B(X,Y)\)が作用素ノルムについてノルム空間であることは以前の記事で示しました。

残りとして、\(B(X,Y)\)が完備であること、すなわち\((F_n)\)を\(B(X,Y)\)のコーシー列とするとき、それは\(B(X,Y)\)において収束することを示しましょう。

\(u \in X\)とします。\(u \neq 0\)のとき、\((F_n(u))\)は\(Y\)においてコーシー列です。

なぜか。\(\varepsilon>0\)とします。\((F_n)\)が\(B(X,Y)\)のコーシー列であることから、「\(n, m \geq N\)ならば\(\|F_n-F_m\|_{B(X,Y)}< \frac{\varepsilon}{\|u\|_X}\)」を満たす\(N \in \mathbb{N}\)が存在します。したがって、\(F_n\)の線形性と作用素ノルムの定義から、

\[\begin{aligned} &\|F_n(u)-F_m(u)\|_Y \\ &= \|(F_n-F_m)(u)\|_{Y}\\ &\leq \|F_n-F_m\|_{B(X,Y)}\|u\|_{X}\\& < \varepsilon \end{aligned}\]

となるので。

よって、\((F_n(u))\)は\(Y\)におけるコーシー列で、\(Y\)は完備するので、それは収束します。極限は\(u\)に応じて決まるので、それをもって作用素\(F^{*}:X\to Y\)を\(F^{*}(u):= \lim_{n \to \infty} F_n(u)\)と定めましょう。ただし、\(F^{*}(0):=0\)とします。\(F\)の線形性より\(F_n(0)=0\)なので、\(F^{*}(0)= \lim_{n \to \infty}F_n(0)\)でもあります。

\(F_n\)の線形性と極限の線形性より、\(\lambda \in \mathbb{R}\)、\(u,v \in X\)に対し、

\[\begin{aligned} & F^{*}(\lambda u+v)\\ &= \lim_{n\to \infty}F_n(\lambda u+v)\\&= \lim_{n\to \infty}(\lambda F_n(u)+F_n(v)) \\&= \lambda \lim_{n\to\infty}F_n(u)+\lim_{n\to \infty}F_n(v) \\&= \lambda F^{*}(u)+F^{*}(v) \end{aligned}\]

となるので、\(F^{*}\)は線形写像（線形作用素）です。

\(F^{*}\)が有界で、かつ\(F_n \to F^{*}\)となることを示しましょう。

\(\varepsilon >0\)とします。\((F_n)\)は\(B(X,Y)\)のコーシー列なので、「\(n, m \geq N\)ならば\(\|F_n-F_m\|_{B(X,Y)}< \varepsilon\)」を満たす\(N \in \mathbb{N}\)が存在します。

このとき、\(u \in X\)に対し、

\[\begin{aligned} &\|F_n(u)-F_m(u)\|_Y \\ &= \|(F_n-F_m)(u)\|_{Y}\\ &\leq \|F_n-F_m\|_{B(X,Y)}\|u\|_{X}\\& < \varepsilon \|u\|_X \end{aligned}\]

です。ここで\(m \to \infty\)の極限を取れば、\(\lim_{m \to \infty}F_m(u)=F^{*}(u)\)であり、不等式は極限で保たれるので、

\[\|F_n(u)-F^{*}(u)\|_Y \leq \varepsilon \|u\|_X\]

となります。これは\(F_n-F^{*}\)が有界であることを意味し、\(B(X,Y)\)は線形空間なので、\(F^{*} \in B(X,Y)\)です。

また、作用素ノルムの定義（下限）から、\(\|F_n-F^{*}\|_{B(X,Y)}< \varepsilon\)です。これにより\((F_n)\)は\(F\)に収束することが示せました。

任意のコーシー列が収束するので、作用素ノルムについて\(B(X,Y)\)はバナッハ空間です。

以上、有界線形作用素のなす空間\(B(X,Y)\)がバナッハ空間となることの証明を紹介してきました。

作用素のコーシー列\(F_n\)があったとすると、それによる像で\(Y\)の点列\(F_n(u)\)が作れて、それが\(Y\)の完備性により収束する。あとは作用素としての収束を確かめる、という流れでした。