どうも、木村（@kimu3_slime）です。
今回は、数列・関数の不等式比較が、極限操作によって保たれることについて紹介します。
数列の不等式と極限
数列\((a_n),(b_n)\)が、すべての\(n \in \mathbb{N}\)に対して\(a_n \leq b_n\)を満たし、極限値を持つ\(\lim_{n\to \infty}a_n=a\)、\(\lim_{n\to \infty}b_n=b\)とする。
このとき、\(a \leq b\)が成り立つ。
これを証明しましょう。
\(a>b\)を仮定し、それが成り立たないことを示します（背理法）。
\(c_n:=b_n -a_n\)と置くと、仮定と極限の線形性から、\(\lim_{n\to \infty} c_n =b-a\)が成り立ちます。数列が収束することの定義から、すべての\(m \in \mathbb{N}\)に対し、「\(n \geq N_1\)ならば\(|c_n-(b-a)|<\frac{1}{m}\)」を満たす\(N_1 \in \mathbb{N}\)が存在します。
絶対値を外すと、特に\(c_n-(b-a) < \frac{1}{m}\)が成り立ちますが、仮定より\(c_n =b_n-a_n \geq 0\)なので、\(-(b-a)< \frac{1}{m}\)です。仮定より\(-(b-a)= a-b>0\)ですが、これはアルキメデスの原理に矛盾します。\(1,-(b-a)\)は正の数ですが、どんな自然数\(m \in \mathbb{N}\)をかけても、\(-m(b-a) >1\)が成り立たないので。よって、\(a \leq b\)が成り立つと言えました。
特殊なケースとして、\(a_n \leq b\)と、一方が数列でなく\(n\)に依存しない定数として評価できたときを考えましょう。
このときは、\(\lim_{n\to \infty }a_n \leq b\)です。\(b_n =b\)という恒等的な数列を考えたと見れます。
この極限の性質において、不等号\(\leq \)を真の不等号\(<\)に変えることは、一般にはできません。
\(a_n < b_n\)を満たすからといって、\(a<b\)とは言えないのです。ごく簡単な例ですが、\(a_n=0\)、\(b_n =\frac{1}{n}\)を考えます。すると、すべての\(n\in \mathbb{N}\)に対し\(a_n < b_n\)を満たしますが、\(\lim_{n \to \infty}a_n =\lim_{n \to \infty}b_n=0\)で、等号が成立します。
極限を取る前に真の不等式が成り立っていたとしても、極限を取った結果は等号が成り立つ場合があります。なので、数学、特に解析学では、真の不等号\( <\)よりも、等号を含む不等号\(\leq \)を使うことが多いでしょう。
参考：不等式の証明で等号成立を確かめる必要がないのはなぜか：≦の意味
関数の不等式と極限
関数についても、数列と同様の主張が成り立ちます。
\(I \subset \mathbb{R}\)で定義された関数\(f,g\)が、すべての\(x \in I\)に対して\(f(x) \leq g(x)\)を満たし、極限値を持つ\(\lim_{x \to p}f(x)=a\)、\(\lim_{x \to p}g(x)=b\)とする。
このとき、\(a \leq b\)が成り立つ。
関数の極限の定義（イプシロンデルタ）によって、数列の場合と全く同様に確かめることができます。
関数の極限は数列の極限の問題に言い換えることができ、数列のケースは既に示したので、この主張は成り立つと言えました。
以上、数列・関数の不等式が極限を取っても保存されることを紹介してきました。
はさみうちの原理しかり、不等式を作って極限の値を評価するのは基本的です。簡単で一般的な性質として、不等式は極限をとっても保存されるという性質を使っていきましょう。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
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