数列・関数の極限の性質:線形性、四則演算との交換

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、数列・関数の極限の性質、線形性、四則演算との交換を紹介、証明します。

 

数列の極限の性質

\((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\)、\((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\)を収束する数列とし、その極限を\(\lim_{n \to \infty } a_n =a\)、\(\lim_{n \to \infty } b_n =b\)とする。

このとき、その和、スカラー倍、積、商も収束し、次の式が成り立つ。

  1. \(\lim_{n \to \infty}(a_n +b_n)=a+b\)
  2. \(\lim_{n \to \infty}(c a_n )=ca\)
  3. \(\lim_{n \to \infty}a_n b_n=ab\)
  4. \(b \neq 0\)ならば\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}\)

これを証明しましょう。

収束すること\(\lim_{n \to \infty } a_n =a\)の定義は、任意の\(\varepsilon >0\)に対し、「\(n \geq N\)ならば\(|a_n-a |< \varepsilon\)」を満たす\(N \in \mathbb{N}\)が存在することでした。

 

1.和について。

\(\varepsilon>0\)を任意とします。仮定より、「\(n \geq N_1\)ならば\(|a_n-a |< \frac{\varepsilon}{2}\)」を満たす\(N_1 \in \mathbb{N}\)と「\(n \geq N_2\)ならば\(|b_n-b |< \frac{\varepsilon}{2}\)」を満たす\(N_2 \in \mathbb{N}\)が存在します。\(N\)を\(N_1,N_2\)の大きい方の自然数としましょう。\(n \geq N\)のとき、三角不等式を使えば

\[\begin{eqnarray} |a_n+b_n -(a+b)| &\leq &|a_n-a|+|b_n-b| \\ &<& \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \\ &=&\varepsilon \end{eqnarray}\]

が成り立つことが言えました。

 

2.スカラー倍について。

\(c=0\)のときは\(\lim_{n\to \infty} 0 = 0\)なので、\(c\neq 0\)のケースを考えます。

\(\varepsilon>0\)を任意とします。仮定より、「\(n \geq N\)ならば\(|a_n-a |< \frac{\varepsilon}{|c|}\)」を満たす\(N \in \mathbb{N}\)が存在します。\(n\geq N\)のとき、

\[\begin{eqnarray} |ca_n -ca| &=& |c||a_n -a |\\ &<& |c| \frac{\varepsilon}{|c|} \\ &=&\varepsilon\end{eqnarray}\]

が成り立つと言えました。

 

3.積について。

準備として、収束する数列は有界であることを示します。

\((a_n)\)が収束することから、「\(n \geq N_1\)ならば\(|a_n-a|<1\)」を満たす\(N_1\in \mathbb{N}\)が存在します。\(|a_n-a|<1\)を使うと、\(|a_n|<|a-1|\)かつ\(|a_n| < |a+1|\)です。したがって、\(K_1 :=\max \{|a_1|,\dots,a_{N_1 -1}|,|a-1|,|a+1|\}\)と置けば、すべての\(n \in \mathbb{N}\)に対し、\(|a_n| \leq K_1\)と言えました。

\((b_n)\)についても同様にして、すべての\(n \in \mathbb{N}\)に対して\(|b_n| \leq K_2\)となります。\(K:= \max {K_1,K_2}\)としましょう。

\(\varepsilon>0\)を任意とします。先を見越して、\((a_n),(b_n)\)の収束を利用します。「\( n \geq N\)ならば、\(|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2K}\)、\(|b_n-b|< \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}\)」を満たす\(N \in \mathbb{N}\)が存在します。

\(n\geq N\)のとき、三角不等式、有界性、収束性を順に使うと、

\[\begin{eqnarray} |a_nb_n -ab|&\leq& |a_n b_n -ab_n|+|ab_n -ab| \\ &\leq& K |a_n-a|+|a||b_n-b| \\ &<& K\frac{\varepsilon}{2K} +|a| \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} \\ &\leq & \varepsilon \end{eqnarray}\]

が示せました。

 

4.商について。

\(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}\)を示せれば、積の性質から\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}\)が示せます。

\(\varepsilon>0\)を任意とします。

\(b \neq 0\)より\(|b|>0\)に注意して、\((b_n)\)が収束することから、「\(n \geq N_1\)ならば\(|b_n-b|<\frac{1}{2}|b|\)」を満たす\(N_1\)が存在します。三角不等式より\(|b|-|b_n|<|b_n-b|\)なので、\(n \geq N_1\)のとき、\(|b_n|>\frac{1}{2}|b|>0\)です。つまり、分母に\(b_n\)が登場しても問題ありません。

先を見越して、\((b_n)\)が収束することから、「\(n \geq N_2\)ならば\(|b_n-b|<\frac{1}{2}|b|^2 \varepsilon\)」を満たす\(N_2\)が存在します。

\(N:=\max \{N_1,N_2\}\)とすると、\( n \geq N\)のとき、

\[\begin{eqnarray} |\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}| &=&| \frac{b-b_n}{bb_n} | \\&<&\frac{2|b-b_n|}{|b|^2}\\ &<&\frac{2}{|b|^2}\frac{1}{2}|b|^2 \varepsilon \\ &=& \varepsilon \end{eqnarray}\]

となることが言えました。

 

特に

  1. \(\lim_{n \to \infty}(a_n +b_n)=a+b\)
  2. \(\lim_{n \to \infty}(c a_n )=ca\)

という性質を、極限の線形性と言います。

この性質は、数列のなす線形空間\(\ell(\mathbb{N})\)において、収束する数列のなす部分集合が部分空間となっていることを示していますね。

 

関数の極限の性質

関数についても、数列と同様の結果が成り立ちます。

\(f,g\)を関数とし、その極限が存在する\(\lim_{x \to p } f(x) =a\)、\(\lim_{x \to p } g(x) =b\)とする。

このとき、その和、スカラー倍、積、商も収束し、次の式が成り立つ。

  1. \(\lim_{x \to p }(f(x)+g(x))=a+b\)
  2. \(\lim_{x \to p }(c f(x) )=ca\)
  3. \(\lim_{x \to p }f(x)g(x)=ab\)
  4. \(b \neq 0\)ならば\(\lim_{x \to p }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}\)

これは関数の極限の定義(イプシロンデルタ論法)によって、直接確かめることで示すことができます。

ただ、関数の極限と(任意の)数列の極限は同値なので、これを数列の極限の問題に置き換えれば、既に示した結果を使って示すことができました。

 

関数の極限の結果は、\(a=f(p),b=g(p)\)となっているケースを考えれば、\(f,g\)が\(x=p\)において連続ならば、その和・差・積・商も連続であることを示しています。これは基本的で重要な結果です。

連続関数のなす集合\(C^0(U)\)は、関数の和・スカラー倍について、線形空間となります。これを支えているのが、関数に関する極限の線形性ですね。

微分についても、微分可能な関数の和、差、積、商は微分可能となりますが、その基本となっているのは極限の性質と言えます。

 

以上、数列・関数の極限の性質、線形性と四則演算との交換を紹介してきました。

考えている対象が収束している場合には、個別に極限を取って計算して良い、四則演算と順序交換して計算して良いということですね。

極限というのは扱いが難しいものですが、この性質は基本的な性質として利用していきましょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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