反応拡散方程式の力学系でアトラクターが存在することの証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、反応拡散方程式の力学系でアトラクターが存在することの証明を紹介します。

 

\(\Omega \subset \mathbb{R}^N\)をなめらかな有界領域とし、

\[\frac{\partial u}{\partial t} -\Delta u =f(u)\]

\[u(t,x)=0\quad(x\in \partial \Omega)\]

\[u(0,x)=u_0(x)\]

ただし\(f(s)=s-s^3\)といった反応拡散方程式を考えると、

  • 「\(u_0 \in L^2\)に対し、「\(t \geq t_0\)ならば\(\|u(t)\|_{L^2} \leq R\)」を満たす\(t_0\)が存在する」ような\(R\)が存在する
  • \(L^2\)の有界な吸収集合が存在する。
  • 「\(u_0 \in L^2\)に対し、「\(t \geq t_0\)ならば\(\int_{t}^{t+1} \|u(s)\|_{H_0 ^1}^2 ds \leq R_1\)」を満たす\(t_0\)が存在する」を満たす\(R_1\)が存在する

ことを前回の記事で示しました

今回は、\(H_0^1\)における有界な吸収集合が存在することを示し、それによって\(L^2\)におけるアトラクターが存在することを示します。

 

まず、解になめらかさがある、\(u \)が空間について2階微分可能として、方程式に\(-\Delta u\)をかけて空間について積分しましょう。

\[\int \frac{\partial u}{\partial t}(-\Delta u)dx +\int(-\Delta u)^2 dx =\int (u-u^3)(-\Delta u) dx\]

で、左辺は部分積分によって

\[\begin{aligned}  &\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t}(-\Delta u)dx +\int_{\Omega}(-\Delta u)^2 dx \\ &= \sum_{k=1}^N \int_{\Omega} \frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x_k} \frac{\partial u}{\partial x_k} dx+\|-\Delta u\|_{L^2}^2\\ &= \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u\|_{H_0^1}^2 +\|-\Delta u\|_{L^2}^2\end{aligned}\]

となります。一方、右辺を\(f^{\prime}(s)=1-s^2 \leq 1 \)に注意して不等式評価すれば、

\[\begin{aligned}  &\int_{\Omega} (u-u^3)(-\Delta u) dx \\ &= -\int_{\Omega}\sum_{k=1}^N (u-u^3) \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}dx \\&= \int_{\Omega}\sum_{k=1}^N (1-u^2) \frac{\partial u}{\partial x_k} \frac{\partial u}{\partial x_k}dx \\ &\leq  \int_{\Omega}\sum_{k=1}^N  \frac{\partial u}{\partial x_k} \frac{\partial u}{\partial x_k}dx \\ &= \|\nabla u\|_{L^2}^2 \\&= \|u\|_{H_0 ^1}^2\end{aligned}\]

です。つまり、

\[\begin{aligned}  &\frac{d}{dt}\|u\|_{H_0^1}^2 \\ &\leq  2 \|u\|_{H_0 ^1} -2\|-\Delta u\|_{L^2}^2 \\ &\leq 2\|u\|_{H_0 ^1}^2 \end{aligned}\]

です。

 

これを少し工夫して不等式評価します。\(t\)を実数とし、\(a\)を\(t-1 \leq a <t\)を満たす数とします。さきほどの不等式を、\(a\)から\(t\)まで時間について積分すれば、

\[\begin{aligned}  &\|u(t)\|_{H_0^1}^2 \\ &\leq 2\int_{a}^t \|u(s)\|_{H_0^1}^2 ds+\|u(a)\|_{H_0^1}^2 \\ &\leq 2\int_{t-1}^t \|u(s)\|_{H_0^1}^2 ds+\|u(a)\|_{H_0^1}^2 \end{aligned}\]

です。さらに\(a\)について\(t-1\)から\(t\)まで積分すれば、

\[\begin{aligned}  & \|u(t)\|_{H_0^1}^2\\ &\leq 2  \int_{t-1}^t \|u(s)\|_{H_0^1}^2 ds +\int_{t-1}^t\|u(a)\|_{H_0^1}^2da  \\ &=3 \int_{t-1}^t \|u(s)\|_{H_0^1}^2 ds \end{aligned}\]

です。ここで\(L^2\)に関する評価

  • 「\(u_0 \in L^2\)に対し、「\(t \geq t_0\)ならば\(\int_{t}^{t+1} \|u(s)\|_{H_0 ^1}^2 ds \leq R_1\)」を満たす\(t_0\)が存在する」を満たす\(R_1\)が存在する

を用いましょう。\(t_1 :=t_0+1\)とすれば、\(t \geq t_1\)のとき、\(t-1\geq t_0\)なので評価が使えます。したがって、

\[\begin{aligned}  & \|u(t)\|_{H_0^1}^2\\ &\leq 3 \int_{t-1}^t \|u(s)\|_{H_0^1}^2 ds \\ & \leq 3R_1\end{aligned}\]

です。\(R_2 := \sqrt{3R_1}\)と置けば、それは\(u_0\)によらず、\(t \geq t_1\)のとき

\[\begin{aligned}   \|u(t)\|_{H_0^1}  \leq R_2\end{aligned}\]

となりました。

\(u\)になめらかさを仮定しましたが、一般のケースでも(ガラーキン)近似をすることによって同じ評価を導けます。詳しくはロビンソン「Infinite-Dimensional Dynamical Systems」を参照。

 

以上によって、\(H_0^1\)に有界な吸収集合が存在することが示せました。

\(\Omega\)は有界なので、ポアンカレの不等式から\(H_0^1\)と\(H^1\)のノルムは同値なので、\(H^1\)における有界な吸収集合\(B\)が存在します。

さらに、レリッヒ・コンドラショフの定理より、\(H^1\)における有界な集合は\(L^2\)におけるコンパクト集合なので、\(B\)は\(L^2\)において吸収集合です。

よって、\(L^2\)においてコンパクトな吸収集合が存在することが示せました。これにより反応拡散方程式の力学系は散逸系で、グローバルアトラクターが存在することが示せました。

 

以上、反応拡散方程式の力学系でアトラクターが存在することの証明を紹介してきました。

方程式の解の存在と一意性を調べることで解の長期挙動:力学系の議論を始めることができ、解のノルムの不等式評価によって吸収集合やアトラクターの存在を示すことができました。偏微分方程式の力学系の例として、今回の反応拡散方程式の話を知ってもらえたら嬉しいです。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

 

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