ストゥルム・リウビル型微分方程式の固有値の性質の証明

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、ストゥルム・リウビル型微分方程式の固有値の性質の証明を紹介します。

導入
証明
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導入

ストゥルム・リウビル型微分方程式とは、

\[ \begin{aligned}\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x)) + \{q(x)+ \lambda r(x)\}u(x) =0\end{aligned} \]

\[ u(a)=u(b)=0 \]

を満たす$\lambda$、$u(x)$を見つける問題です。

ここで、変数$x$は$\mathbb{R}$の有界な閉区間$[a,b]$上で動き、$p,q,r$は連続関数で常に$p(x)>0,q(x)<0,r(x)>0$、$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$は定数です。

$\lambda$をパラメータと考え、その$\lambda$に対して方程式に非自明な解$u$が存在するとき、その$\lambda$を固有値、対応する解$u(x)$を固有関数と呼びます。

そして、次の結果が知られています。（ストゥルム・リウビルの理論）

固有値は可算無限個存在し、すべて実数である。その最小のものを$\lambda _1$とすると、$\lambda_1>0$で、
\[ \begin{aligned} \lambda_1 <\lambda_2 <\cdots\end{aligned} \]
で、$\lambda_n \to \infty (\mathrm{as}\; n\to \infty)$。
異なる固有関数は$r$の重み付き内積に関して直交する$\int_a ^b r(x)w_k w_n dx=0 $。さらに、重み$r$つきの$L^2$空間の完全正規直交基底となる。

今回はこの結果を、ヒルベルト・シュミット作用素とヒルベルト・シュミットの定理に持ち込むことで証明しましょう。

証明

方針

重み$r$つきの$L^2$空間を

\[L^2_r(a,b):=\{u \in L^2((a,b)) \mid \|u\|_{L_r ^2}< \infty\} \]

とし、内積とノルムは

\[ \begin{aligned}\langle u,v\rangle_{L_r^2}:=\int _a ^b u(x)v(x) r(x)dx\end{aligned} \]

により導かれるものとします。

ヒルベルト・シュミットの定理

$H$ を可分なヒルベルト空間、$F:H \to H$をコンパクトで対称な線形作用素とする。このとき、次のことが成り立つ。

固有値はすべて実数
固有値は多くても可算無限個。「すべての$n \in \mathbb{N}$に対し$|\lambda_{n+1}| \leq |\lambda_{n}|$」を満たすように固有値に番号付けするならば、$\lim_{n \to \infty} \lambda_n =0$
固有関数系$(w_n)$は、像$F(H)$の完全正規直交系（ヒルベルト基底）となる。
- 特に、$F(u) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle u,w_n\rangle w_n$と表せる。
さらに、$F$が可逆（単射）ならば、固有関数系は全体$H$の完全正規直交系となる。

を$H:= L^2(a,b)$として適用できるようにしましょう。

そのためには、ストゥルム・リウビル微分方程式をコンパクトな対称作用素の問題に置き換える必要があります。特に、ヒルベルト・シュミット作用素

\[[K(u)](x): = \int_{\Omega}k(x,y)u(y)dy\]

に落とし込むようにしていきます。

ヒルベルト・シュミット作用素への落とし込み

作用素$L: H\to H$を

\[[L(u)](x):=-\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x)) – q(x)u(x) \]

と定めましょう（ストゥルム・リウビル作用素という）。もとの問題は、$[L(u)](x)=\lambda r(x)u(x)$と表せます。

2階線形微分方程式の非同次の境界値問題の解として、

\[L(G)=\delta(x-y)\]

\[G(x,a)=G(x,b)=0\]

\[G(x,y)=G(y,x)\]

\[\begin{aligned} u(x) \\ &= \int_a^b G(x,y)\lambda r(y)u(y) dy \end{aligned}\]

を満たす2変数の連続関数：グリーン関数（Green’s function）$G(x,y)$が知られています。ただし$\delta$はデルタ関数です。これを満たす$u$があればストゥルム・リウビル微分方程式の解であり、問題は同値となっています。

ヒルベルト・シュミット積分作用素の形に近づいてきました。$r(x)>0)$に注意して、$k(x,y)=G(x,y)\sqrt{r(x)r(y)}$、$v(x)=\sqrt{r(x)}u(x)$と置くと、方程式は

\[\frac{1}{\lambda} v = \int_a^b k(x,y)v(y)dy\]

となります。重み$r(x)$を含めてひとつの関数として扱うため、それを$\sqrt{r(x)}$として分割しました。$\lambda$で割っていますが、それは後の議論で$\lambda>0$となるので正当化されます。

$G,r$は連続なので、$k \in L^2((a,b)\times(a,b))$です。さらに、$G(x,y)=G(y,x)$なので、$k(x,y)=G(x,y)\sqrt{r(x)r(y)}=G(y,x)\sqrt{r(y)r(x)}=k(y,x)$です。したがって、

\[[K(v)](x): = \int_a^b k(x,y)v(y)dy\]

と置けば、$K:L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)$は対称なヒルベルト・シュミット作用素です。問題は

\[Kv =\frac{1}{\lambda} v\]

と書き換えられています。

固有値が正であること

固有値が実数であることはこれまでの議論で示せるので、ここでは固有値$\lambda$が実数として、必ず正となること$\lambda>0$を示しましょう。

$\lambda$を固有値、$u$を固有関数とすると、$[L(u)](x)=\lambda r(x)u(x)$です。両辺で$u$との内積を取れば、

\[\begin{aligned} &\langle L(u),u \rangle_{L^2} \\ &=\lambda \langle u,ur\rangle_{L^2} \end{aligned}\]

を満たします（これはレイリー商の考え方です）。

一方で、左辺を下から不等式評価していきましょう。部分積分、境界条件$u(a)=u(b)=0$、$p(x)>0$、$1 \geq \frac{r(x)}{\sup_{x \in[a,b]}r(x)}$であることに注意して、

\[\begin{aligned} &\langle L(u),u \rangle_{L^2} \\ &=\int_a^b -\frac{d}{dx}(p(x) \frac{du}{dx}(x))u(x) – q(x)(u(x))^2 dx \\ &=\int_a^bp(x) (\frac{du}{dx}(x))^2 – q(x)(u(x))^2 dx \\ &\quad -[p(x) \frac{du}{dx}(x)u(x)]_{x=a}^{x=b} \\ & \geq \int_a^b – q(x)(u(x))^2 dx\\ & \geq \inf_{x \in[a,b]}(-q(x)) \int_a^b (u(x))^2 dx\\& \geq\inf_{x \in[a,b]}(-q(x)) \int_a^b (u(x))^2 \frac{r(x)}{\sup_{x \in[a,b]}r(x)}dx\\ &= \frac{\inf_{x \in[a,b]}(-q(x)) }{\sup_{x \in[a,b]}r(x)} \langle u,ur\rangle_{L^2}\end{aligned}\]

となります。$q,r$の連続性より最大値・最小値が存在するので、$q(x)<0$より$\inf_{x \in [a,b]}(-q(x))>0$で（もし最小値が0になるならば、$-q(x)>0$に矛盾する）、$\sup_{x \in[a,b]}r(x)<\infty$です。したがって、$\alpha:=\frac{\inf_{x \in[a,b]}(-q(x)) }{\sup_{x \in[a,b]}r(x)} >0$です。

よって、等式と不等式を組み合わせれば、$\lambda \langle u,ur\rangle_{L^2} \geq \alpha \langle u,ur\rangle_{L^2} $です。固有関数を考えているので$u\neq 0$で、重み付き内積の正定値性より$\langle u,ur\rangle_{L^2} =\langle u,u\rangle_{L_r^2}>0$です。したがって、両辺をこれらで割れば$\lambda \geq \alpha >0$が示せました。

固有値・固有関数系の存在

ヒルベルト・シュミットは、コンパクト作用素です。したがって、ヒルベルト・シュミットの定理から、$H=L^2((a,b))$として

固有値はすべて実数
固有値は可算無限個。$Kv =\frac{1}{\lambda}v$という形で、固有値は正なので、「$|\lambda_{n+1}| \leq |\lambda_{n}|$」は$\lambda_n \leq \lambda_{n+1}$、$\lambda_1>0$に、「$\lim_{n \to \infty} \lambda_n =0$」は$\lim_{n \to \infty }\lambda_n=\infty$に対応します。
固有関数系$(\phi_n)_n$は、像$K(H)$の完全正規直交系（ヒルベルト基底）となる。
- 特に、$K(v) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_{n}\langle v,\phi_n\rangle \phi_n$と表せる。
さらに、$K$が可逆（単射）ならば、固有関数系は全体$H$の完全正規直交系となる。

が成り立ちます。

$K$が単射であること、すなわち$\ker K=\{0\}$を示しましょう。一般に$\ker K\supset\{0\}$なので、$\ker K\subset\{0\}$を示せば良いです。$v \in \ker K$とすると、$Kv=0$です。話を遡ると、$v$から定まる$u$はストゥルム・リウビル方程式を満たし、したがって$Kv =\frac{1}{\lambda} v$を満たします。よって、$v=0$が示せました。

これにより、$(\phi_n)$は$L^2((a,b))$の完全正規直交系です。

$w_n = \frac{\phi_n(x)}{\sqrt{r(x)}}$と置くことで、$(w_n)_n$が$L^2_r(a,b)$の完全正規直交系となることを示しましょう。

\[\begin{aligned} &\langle w_i,w_j\rangle_{L_r^2} \\ &= \int_a^b\frac{\phi_i(x)}{\sqrt{r(x)}}\frac{\phi_j(x)}{\sqrt{r(x)}} r(x)dx\\ &= \langle \phi _i,\phi_j\rangle_{L^2} \end{aligned}\]

となり、$(\phi_n)$は$L^2((a,b))$の正規直交系なので、$(w_n)_n$は$L^2_r(a,b)$の正規直交系です。

また、$f \in L^2_r(a,b)$とすると、$f\sqrt{r} \in L^2((a,b))$です。これを$(\phi_n)_n$の完全性によって展開すれば、

\[f(x)\sqrt{r(x)}= \sum_{n=1}^\infty \langle f\sqrt{r},\phi_n \rangle_{L^2} \phi_n\]

となるので、

\[\begin{aligned} & f(x)\\ &= \sum_{n=1}^\infty \langle f\sqrt{r},\phi_n \rangle_{L^2}\frac{\phi_n(x)}{\sqrt{r(x)}}\\&= \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f(x) \frac{\phi_n(x)}{\sqrt{r(x)}} r(x)dx \frac{\phi_n(x)}{\sqrt{r(x)}} \\&=\sum_{n=1}^\infty \langle f\sqrt{r},w_n \rangle_{L_r^2}w_n\end{aligned}\]

となるので、$(w_n)_n$が$L^2_r(a,b)$の完全正規直交系となることが示せました。

この展開は、一般フーリエ級数展開、固有関数展開と呼ばれます。

以上、ストゥルム・リウビル型微分方程式の固有値の性質の証明を紹介してきました。

これはフーリエ級数展開の一般化となるような結果ですが、コンパクトな対称作用素の固有値の理論という一般論を知っていると見通しが良いですね。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。