線形作用素の有界性と連続性は同値であることの証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、線形作用素について、有界性と連続性は同値であることの証明を紹介します。

 

定義

\(X,Y\)をノルム空間とし、\(F:X \to Y\)を線形作用素(線形写像)とします。

\(F\)が有界であるとは、「すべての\(u \in X\)に対して、\(\|F(u)\|_Y \leq M \|u\|_X\)」を満たす\(M\)が存在することです。

\(F\)が\(X\)において(点列)連続であるとは、すべての\(u \in X\)に対し、\((u_n) \)を\(\lim_{n \to \infty} \|u_n-u\|_X=0\)を満たす\(X\)の点列とするならば、\(\lim_{n\to \infty}\|F(u_n)-F(u)\|_Y=0\)が成り立つことです。

 

証明

では、線形作用素\(F\)が有界であること、連続であることが同値であることを示しましょう。

 

まず、有界ならば連続を示します。

\(u \in X\)で、\((u_n) \)を\(\lim_{n \to \infty} \|u_n-u\|_X=0\)を満たす\(X\)の点列としましょう。\(F\)の線形性と有界性を用いれば、

\[\begin{aligned}  &\|F(u_n)-F(u)\|_Y \\ &= \|F(u_n-u)\|_Y \\ & \leq M \|u_n-u\|_X \\& \to 0\quad(n \to \infty)  \end{aligned}\]

となるので、\(F\)は連続です。

 

逆に、\(F\)が\(X\)において連続ならば有界であることを示しましょう。

対偶として、有界でないならば連続でないことを示します。

有界でないことから、すべての\(n \in \mathbb{N}\)に対し、\(\|F(u_n)\|_Y > n^2 \|u_n\|_X\)を満たす\(u_n \in X\)が存在します(\(M=n^2\)とした)。

\(u_n=0\)と仮定すると、\(F\)の線形性から\(F(u_n)=0\)となり、\(\|F(u_n)\|_Y = 0>0\)となり矛盾するため、\( u_n \neq 0\)です。ノルムの正定値性から、\(\|u_n\|_X \neq 0\)です。

そこで\(v_n := \frac{1}{n\|u_n\|_X}u_n\)と置きましょう。これは\(\|v_n\|_X = \frac{\|u_n\|_X}{ n\|u_n\|_X} = \frac{1}{n} \to 0\)です。

一方で、

\[\begin{aligned}  &\|F(v_n)-F(0)\|_Y \\ &= \frac{\|F(u_n)\|_Y}{n \|u_n\|_X} \\ &>  \frac{n^2 \|u_n\|_X}{n \|u_n\|_X}\\ &= n \\ & \to \infty \end{aligned}\]

となります。\(0\)に収束する\(X\)の点列\((v_n)\)について、その像\((F(v_n))\)が\(F(0)\)に収束しないので、\(F\)は\(X\)において連続ではありません。

よって、\(F\)は連続ならば有界です。

非有界と仮定すると、像は発散するけれども、もとの点列は収束するようなものが作れるわけですね。\(\frac{1}{n}\)のような点列は0に収束しますが、その\(n^2\)倍より大きな点列は\(\frac{n^2}{n}=n \)となり発散する、というアイデアです。

 

線形でないとき

\(F\)が非線形のときは、有界性と連続性は同値であるとは限りません。\(X=Y=\mathbb{R}\)におけるシンプルな例を考えるだけでわかります。

まず、\(F(x)=x^2\)とします。これは多項式関数であり、\(F\)は連続です。しかし、どんな実数\(M \geq 0\)に対しても、\(x=M+1\)を考えれば、\(|F(M+1)| =(M+1)^2 > M|M+1|\)となるので、\(F\)は有界ではありません。

また、

\[ G(x)= \left\{ \begin{array}{lr} x && (x\neq 1) \\ -1 && (x = 1) \end{array} \right. \]

としましょう。\(M=1\)として、すべての\(x\)に対し、\(|G(x)|  \leq |x|\)が成り立ちます。しかし、\(x=1\)において連続ではありません。

ちなみに、線形作用素の文脈でいう有界性は、関数の有界性(像が有界であること)とは別物なので注意しましょう。

 

以上、線形作用素について、有界性と連続性は同値であることの証明を紹介してきました。

このことから、線形作用素について、有界性と連続性は区別されません。連続な埋め込みという言葉がありますが、これは有界性をも意味するものです。また、非有界な線形作用素は、非連続でもあると言えますね。

線形性という前提条件が強力なことが、証明からも感じてもらえたら嬉しいです。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

 

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