次元定理の例、証明、応用・同型写像について解説

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、線形写像に関する次元定理の例、主張・証明、応用について解説します。

次元定理の例
次元定理の主張・証明
次元定理の応用
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次元定理の例

次元定理は、線形写像の像と核の次元に関する定理です。\(A\)を線形写像（行列）とするとき、

\[ \begin{aligned}\mathrm{dim} (\ker A) +\mathrm{dim}( A(\mathbb{R}^N)) = N\end{aligned} \]

が成立しています。

例を見てみましょう。\(A:=\begin{pmatrix} 1& -1\\ 2 & -2 \end{pmatrix} \)とします。

\[ \begin{aligned}\mathrm{Ker}A = \{x\in \mathbb{R}^N \mid Ax=0\}\\ =\{(x,y)\mid (x-y)(1,2)=(0,0)\} = \{(c,c)\mid c \in \mathbb{R}\}\end{aligned} \]

なので、\(\mathrm{dim }(\mathrm{Ker}A) = 1\)です。

一方で、\(A\)を基本変形すれば\(A \sim \begin{pmatrix} 1& -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)なので、そのランクは1です。ランクと像の次元は等しいので、\(\mathrm{dim }(A(\mathbb{R}^2))=1\)です。

よって、\(\mathrm{dim }(\mathrm{Ker}A) +\mathrm{dim }(A(\mathbb{R}^2))= 2 \)で、この例に関して次元定理は成り立っています。

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次元定理の主張・証明

次元定理の主張を、一般的な形で書きましょう。これは次元等式、ランク・退化次数の定理（Rank–nullity theorem）とも呼ばれます。

\(V,W\)を（有限次元の）線形空間とし、\(f:V\to W\)を線形写像とする。このとき、次の式が成り立つ。
\[ \begin{aligned}\mathrm{dim}V= \mathrm{dim} (\ker f) + \mathrm{dim}(f(V))\end{aligned} \]

証明しましょう。

\(k:=\mathrm{dim} (\ker f),l:=\mathrm{dim}(f(V))\)と仮定して、\(k+l=\mathrm{dim}V \)を示せば良いです。

\(\ker f\)の基底を\(\{u_1,\dots, u_k\}\)、\(f(V)\)の基底を\(\{w_1,\dots, w_l\}\)とします。像の定義より、\(f(v_1) =w_1,\dots,f(v_l)=w_l\)を満たすような\(v_1,\dots,v_l\)が存在します。

（像が自明\(f(V)={0}\)なときは、\(\ker A= V\)です。\(\mathrm{dim} (\ker A)=\mathrm{dim} V, \mathrm{dim}(f(V))=0\)なので、次元定理は成り立っています。なので、\(l \geq1\)として良いです。また、核が自明\(\ker f ={0}\)なときは、\(\{u_1,\dots, u_k\}\)は考慮しないこととします。）

以降は、\(k+l\)個のベクトル\(\{ u_1,\dots, u_k,v_1,\dots,v_l\}\)が\(V\)の基底となることを示します。

まず、\(\{ u_1,\dots, u_k,v_1,\dots,v_l\}\)が\(V\)を生成することを示します。

\(x\in V\)を任意のものとします。\(f(x)\in f(V)\)より、\(\exists c_1,\dots, c_l \quad f(x)= c_1w_1 +\cdots+ c_l w_l\)と像の基底によって表せます。この式を\(f\)の線形性によってまとめると、\(f(x-(c_1v_1+\cdots+c_l v_l))=0\)です。つまり、\(x-(c_1v_1+\cdots+c_l v_l) \in \ker f\)なので、核の基底を使って表せば、\(\exists d_1,\dots,d_k \quad x-(c_1v_1+\cdots+c_l v_l)= d_1 u_1 +\cdots+ d_k u_k\)です。よって、\(x= d_1 u_1 +\cdots+ d_k u_k+c_1v_1+\cdots+c_l v_l\)と、\(\{ u_1,\dots, u_k,v_1,\dots,v_l\}\)の線形結合で表せました。

続いて、\(\{ u_1,\dots, u_k,v_1,\dots,v_l\}\)が線形独立であることを示します。

\(\exists a_1,\dots,a_k,b_1,\dots,b_l \quad a_1u_1 +\cdots+a_k u_k + b_1v_1+ \cdots b_l v_l =0\)と仮定しましょう。両辺を\(f\)で写すと、\(u_1,\dots,u_k \in \ker f\)の部分は消えるので、線形性によって整理すれば、\(b_1 f(v_1)+\cdots + b_l f(v_l)=0\)です。さらに定義より、\(b_1 w_1+\cdots + b_l w_l=0\)なので、\(\{w_1,\dots, w_l\}\)の線形独立性より、\(b_1 =\cdots =b_l =0\)となります。最初の仮定の式に戻ると、\( a_1u_1 +\cdots+a_k u_k =0\)が成り立っているわけですが、\(\{u_1,\dots, u_k\}\)の線形独立性より、\(a_1 =\cdots =a_k=0\)が言えました。

以上により、\(\{ u_1,\dots, u_k,v_1,\dots,v_l\}\)が\(V\)の基底であることが言え、次元定理が示せました。

次元定理の応用

次元定理の応用例を、いくつか簡単に紹介します。

像の次元がわかれば、核の次元がわかるという関係式です。

例えば、\(f(x) =4x_1 + 3x_2 – x_3 \)と定義し、\(f(x)=0\)なる図形を考えます。その定義域と値域は\(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\)です。行列によって\( \begin{pmatrix} 4 & 3 & -2 \end{pmatrix} x\)と表されているので、像の次元＝ランクは1です。次元定理によって、\(\mathrm{dim} \ker f = 3-1 =2\)とわかります。したがって、例えば\((1,1,7),(1,0,4)\)と線形独立な2つの核の要素を見つければ、それは核の基底であると言えるわけです。

逆に、核の次元が簡単に求められる時に、像の次元を求める式としても使えます。

また、次元定理から、次の条件が同値であることが言えます。

\(V,W\)を線形空間、\(f:V\to W\)を線形写像とする。さらに、\(\mathrm{dim}V= \mathrm{dim}W\)のとき、
(1) \(\mathrm{dim}V= \mathrm{dim}(f(V))\)
(2) \(f\)は単射（\(\ker f =\{0\}\)）
(3) \(f\)は全射（\(f(V) =W\)）

(1),(2)は簡単です。(1)ならば、次元定理より核の次元は0。次元が0な線形空間は\(\{0\}\)なので、(2)が成立。逆に、(2)から出発しても、次元定理より(1)が導けています。

単射性と核について：線形写像の核とは・性質、線形方程式の不定性を調べる

(3)「 \(f\)は全射\(\Leftrightarrow\)\(f(V) =W\)」の同値条件をチェックしましょう。一般に、像の定義より、\(f(V)\subset W\)です。\(f\)が全射とは、「任意の\(w \in W\)に対して\(\exists v\in V \quad f(v)=w\)」と同値ですが、これは\(f(V)\supset W\)と同値です。つまり、\(f(V) =W\)と同値であることがわかりました。

(1)から(3)を示します。仮定より\(\mathrm{dim}V =\mathrm{dim}W=\mathrm{dim}(f(V))=: N\)です。このとき、全単射な線形写像（同型写像）\(g:W\to \mathbb{R}^N, h:f(V)\to \mathbb{R}^N\)が存在します。つまり、\(W \ni x= a_1 x_1+\cdots +a_N x_N\)、\(f(V) \ni y= b_1 y_1+\cdots +b_N y_N\)と基底で表したとき、\(g(x)=(a_1,\dots, a_N)\)、\(h(y)= (b_1,\dots,b_N)\)と定めたものです（全単射性、線形性のチェックは省略します、確かめてみてください）。一般に、全単射な写像の合成写像は全単射なので、\(g^{-1}\circ h :f(V) \to W\)は全単射です。特に全射なので、任意の\(w \in W\)に対して\(\exists v \in V \quad f(v)=w\)、すなわち\(W\subset f(V)\)。一般的な性質\(f(V)\subset W\)と合わせて、\(f(V)=W\)が言えました。

（\(g^{-1}\)は\(g\)の逆写像。逆写像については別記事で紹介予定）

(3)から(1)を示します。次元定理と(3)より、\(\mathrm{dim}V= \mathrm{dim} (\ker f) + \mathrm{dim}W\)で、さらに\(\mathrm{dim}V= \mathrm{dim}W\)より\( \mathrm{dim} (\ker f) =0\)です。後は(2)から(1)で示した通りとなります。

\(\mathrm{dim}V= \mathrm{dim}W\)のとき、全射性と単射性が同時に起こるのは、線形写像の著しい性質です。一般の写像では、全射性と単射性は必ずしも一致しません。

一般に、全単射な線形写像\(f:V\to W\)を、\(V\)から\(W\)への（線形）同型写像（isomorphism）と言います。同型写像が存在する時、線形空間\(V\)と\(W\)は（線形空間として）同型（isomorphic）であると呼ばれ、\(V \simeq W\)と表します。（同型写像は、正則な行列で表される＝可逆である＝逆行列を持つことと同値でもあります。）

\(f\)を同型写像とすれば、(2),(3)と次元定理より、\(\mathrm{dim}V= \mathrm{dim}W\)です。逆に、\(\mathrm{dim}V= \mathrm{dim}W\)のとき、同型写像が存在することが示せます（(1)→(3)の証明と同様の議論）。この性質により、一般のベクトル空間\(V\)での議論を、同じ次元のユークリッド空間\(\mathbb{R}^N\)に落とし込むことができるわけです。

同型について参考：群論入門～回転群と巡回群を例に、群の定義・同型・位数を解説

次元定理は、準同型定理と呼ばれる定理の特殊なケースと言えます。

\(V,W\)を線形空間、\(f:V\to W\)を線形写像とする。
このとき、商空間\(V/ (\ker f)\)と像\(f(A)\)は同型。

特に、\(\mathrm{dim}(V/ (\ker f)) =\mathrm{dim}( f(A))\)です。商空間の次元に関する性質\(\mathrm{dim}(V/ (\ker f)) = \mathrm{dim}V- \mathrm{dim} (\ker f)\)を使って変形すれば、次元定理そのものです。

準同型定理は、次元定理から導かれる結果として見ることができます。一方でそれは、代数的構造を保存する写像＝準同型写像に関する定理で、次元定理によらずシンプルに証明できます。商空間といった言葉を準備し、準同型定理と商空間の次元に関する性質を証明することで、次元定理を導く方法もあるというわけです。

商空間、準同型定理について参考：斎藤毅「線形代数の世界―抽象数学の入り口」p.201

参考：商集合、同値関係・同値類を解説～商群の理解に向けて

次元定理は、線形写像の際立った性質を表した式で、線形代数の理論の1つの目標点と言えます。しかしながら証明も難しくありません。線形代数の議論に慣れているかどうかチェックするために、ぜひ何も見ずに証明にチャレンジしてみてください。

木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。