初等代数・幾何・論理のスキルツリー:線形代数に必要な中学・高校数学

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

大学で線形代数学を学ぶためには、どんな中学・高校数学の単元を身に着けている必要があるのでしょうか。

今回は、数学概念の相互関係を、初等代数・幾何・論理のスキルツリーとしてひとつの図にまとめてみました。全体像や論理構造、単元一覧を掴んだり、ロードマップとして活用してみてください。

初等代数・幾何・論理

情報量が大きいので、画像を拡大してみるかPDFバージョンでご覧ください。

 

重要なキーワード

僕の主観にもとづいて、重要で身につけておいてほしいキーワードをまとめておきます。

 

数と文字、初等代数

  • 分配法則
  • 多項式
    • 1次多項式
    • 2次多項式
    • 剰余の定理、因数定理
  • 方程式
    • 1次方程式
    • 2次方程式
    • 因数分解
    • 平方完成、解の公式
    • 直線の方程式
  • 数の分類
    • 整数
    • 有理数
    • 実数
    • 複素数
  • 絶対値
  • べき乗、指数
  • べき乗根、ルート

数学における一般化とは:文字式を学ぶのはなぜか

カッコの前のマイナスの外し方:分配法則を理解する

マイナスかけるマイナスはなぜプラスになるのか:分配法則から

因数分解で2次方程式がなぜ解けるか:積が0となる数の性質

平方完成の由来と応用:なぜ平方「完成」と呼ばれるか

マイナス乗、ゼロ乗とは:指数法則を知ろう

2分の1乗、分数乗とは:指数法則を知ろう

平方根とルートの違い:ルート外しの注意点

 

図形、平面幾何

  • 座標
    • 数直線
    • 座標平面
    • グラフ
    • 多項式関数
      • 1次関数、傾き
  • 図形の面積、体積
  • 直線の平行、垂直
  • 対頂角、同位角、錯角
  • 図形の相似、合同
    • 相似比
  • ピタゴラスの定理
  • 三角関数
    • 三角比
    • 単位円、相互関係
    • 余弦定理
    • 加法定理
    • 極座標
    • 弧度法

円の面積・円周、球の体積・表面積の公式の覚え方(微積分)

サイン、コサインは何の役に立つ? バネの振動と三角関数

三角関数のグラフの意味・書き方:音の波を例に

ラジアン(弧度法)を学ぶのはなぜ? 三角関数の微分を単純化

 

初等整数論

  • 約数、倍数
    • 最大公約数
    • 互いに素
  • 素数
    • 素因数分解
  • 除法の原理
    • ユークリッドの互除法
  • 合同式

偶数+奇数はいつでも奇数? 読み解き方、よくある間違いと証明

偶数、奇数の見分け方(1の位)とその証明

3の倍数の判定法・証明 各桁の和が3の倍数となるか?

整数の除法、割り切れる・約数b|a、最大公約数gcdとは?

素数の性質:無限にあること、素因数分解の一意性と応用

素数判定の試し割り法 エラトステネスの篩とは

ユークリッドの互除法とは? 計算例、なぜうまくいくか

倍数同士の和は同じ倍数となること、整数の合同modとは

合同式の性質を使った整数の余りの計算方法

 

論理、集合

  • 推論
    • 仮定、結論
    • 命題、条件
    • 三段論法
  • 論理演算
    • かつ、または、でない
    • ならば、同値
    • すべての、存在する
    • ド・モルガンの法則
  • 証明
    • 直接法、対偶法、背理法
    • 数学的帰納法
  • 集合演算
    • 和集合、共通部分、補集合
    • 部分集合
    • 空集合
    • ベン図

論理学の考え方、命題、主張、仮定、結論とは何か?

「演繹的・帰納的」な推論の定義、違いを、具体例を交えて解説

カテゴリー的三段論法とは:具体例と標準形、三段論法的推論

「AならばB」のよくある誤解から学ぶ、論理学入門(対偶、逆、否定、真偽表)

記号論理、命題論理入門:覚えるべき論理記号(否定、かつ、または、ならば、同値)とは

論理に関するド・モルガンの法則を真偽値の計算(プログラミング)で確かめる

「すべての」「存在する」「一意性」とは? 証明の書き方

数学の証明とは何か、なぜ必要なのか?

数学の文章・証明をわかりやすく書くために気をつけること

「AならばB」証明の書き方、直接法、対偶法、背理法

集合論入門:集合の定義、数の集合、ラッセルのパラドックス

集合論のはじまり、全称命題と存在命題、論理記号を知ろう

集合の要素、部分集合、等しいことの証明の書き方

空集合が任意の集合の部分集合であるのはなぜか(空真)

 

ベクトル、行列、線形代数

  • ベクトル
    • 和、スカラー倍
    • 大きさ、ノルム
      • ゼロベクトル、単位ベクトル
    • 内積
  • 行列
    • ゼロ行列、単位行列
    • 連立一次方程式
    • 線形変換(一次変換)
      • 回転行列

線形代数学「ベクトル」を高校数学レベルで解説

なぜ平行でないベクトルによる分解を考えるか:線形独立とは

1次方程式を行列で解くメリット・方法・条件について、幾何学的に見る

回転行列とは? 導出と例、性質を紹介

線形代数学の応用:CG・画像処理(拡大縮小・反転、回転、せん断)について

 

複素数平面

  • 複素数
    • 実部、虚部
      • 虚数単位
    • 絶対値
  • 複素数平面
    • 極形式
    • オイラーの公式

複素数の積=回転行列の積:対応関係を解説

複素数と行列の対応関係:行列表現

オイラーの公式とは:複素指数関数、三角関数の性質

複素数で普通の順序・不等号・大小関係を考えないのはなぜか

 

以上で挙げたキーワードを身に着けていれば、大学初年度の線形代数の教科書を読めるようになるでしょう。

中学高校数学のやり直しなら:高校数学のやり直し・独学のやり方、おすすめ教材高校数学のやり直し・独学のやり方、おすすめ教材

大学数学に入門、予習したいなら:大学入学前に数学を予習したい人におすすめの本・勉強法

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

中高一貫教育をサポートする体系数学〈4〉高校2年生用 微積分の基礎と数列・ベクトル
恒治, 岡部(編集), 茂樹, 北島(編集)
数研出版 (2018-01-01T00:00:01Z)
5つ星のうち4.7
¥4,406 (コレクター商品)

 

中高一貫教育をサポートする体系数学5複素数平面と微積分の応用
岡部 恒治(編さん), 北島 茂樹(編さん)
数研出版 (2019-01-25T00:00:01Z)
5つ星のうち4.5
¥4,656 (コレクター商品)

 

新装版 数学読本1

新装版 数学読本1

posted with AmaQuick at 2021.05.26
和夫, 松坂(著)
岩波書店 (2019-05-25T00:00:01Z)
5つ星のうち4.4
¥5,763 (コレクター商品)

 

新装版 数学読本2

新装版 数学読本2

posted with AmaQuick at 2021.05.25
和夫, 松坂(著)
岩波書店 (2019-05-25T00:00:01Z)
5つ星のうち4.4
¥2,640

 

新装版 数学読本3

新装版 数学読本3

posted with AmaQuick at 2021.05.25
和夫, 松坂(著)
岩波書店 (2019-05-25T00:00:01Z)
5つ星のうち4.8
¥2,640

 

新装版 数学読本5

新装版 数学読本5

posted with AmaQuick at 2021.05.25
和夫, 松坂(著)
岩波書店 (2019-05-25T00:00:01Z)
5つ星のうち4.9
¥6,685 (コレクター商品)

 

新装版 数学読本6

新装版 数学読本6

posted with AmaQuick at 2021.05.26
和夫, 松坂(著)
岩波書店 (2019-05-25T00:00:01Z)
5つ星のうち4.8
¥6,158 (コレクター商品)

 

こちらもおすすめ

中学・高校数学のロードマップ ~ 分野一覧と学ぶ順序

微積分・初等解析のスキルツリー:必要な中学・高校レベルの数学