3の倍数の判定法・証明 各桁の和が3の倍数となるか?

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

日常的に見かける数が素数かどうか判定するときに、まず3の倍数かどうかチェックするのは基本です。それは簡単に確かめられます。

今回は、3の倍数かどうかの判定法、各桁の和が3の倍数となるか、という条件について紹介、証明します。

 

3の倍数の判定法を試す

判定法は次の通り。

\(x\)の各桁の数の和が3の倍数ならば、\(x\)は3の倍数である。(逆も成り立つ)

具体的に試してみましょう。

\(42\)の各桁の数の和は、\(4+2=6\)で3の倍数なので、判定法が正しいならば3の倍数です。そして確かに、3の倍数\(42 =3 \times 14\)です。

\(516\)の各桁の数の和は、\(5+1+6=12\)で3の倍数です。そして、\(516=3\times 172\)で、確かに3の倍数です。

\(1630\)の各桁の数の和は、\(1+6+3+0=10\)で3の倍数ではありません。そして、\(1630=3\times543+1\)で3の倍数ではありません。

各桁の数の和を計算して、それが3の倍数かどうかチェックする。それによって元の数が3の倍数か判定できる。簡単な方法ですね。

 

3の倍数の判定法の証明

では、この判定法が正しいことを証明してみましょう。

\(x\)の各桁の数の和が3の倍数ならば、\(x\)は3の倍数である。(逆も成り立つ)

 

まずは具体例を通して、そのメカニズムを考えます。

\(516 =500 +10+6\)と、各桁ごとに分解してみます。\(6\)は3の倍数なので、残りが3の倍数かどうか判定したいです。

\(500,10\)はそれぞれ3の倍数ではありません。しかし、それを合わせた\(500+10\)は3の倍数です。ここを分析しましょう。\(10=3\times 3 +1,100=3\times 33 +1\)です。したがって、

\[\begin{eqnarray} 500+10&=&5\times (3\times 33+1)+1\times (3\times 3 +1)  \\ &=&3\times (5\times 33+1\times 3) +5+1\end{eqnarray}\]

1つ目の項は当然3の倍数であり、余った\(5+1\)が3の倍数なので、全体として3の倍数です。よって、3の倍数同士の和は3の倍数なので、\(516\)は3の倍数とわかりました。

逆に、ここで登場した余りが3の倍数でなければ、全体として3の倍数でないこともわかりますね。

 

一般的に議論しましょう。\(x\)を任意に与えられた整数とします。10進法で表せば、

\[\begin{eqnarray} x&=& x_{\ell} \times10^{\ell}+x_{\ell-1}\times 10^{\ell -1}+\cdots+x_{1}\times10^1+x_{0}\\ &=&  \sum _{k=0}^{\ell}  x_{k} 10^{k}\end{eqnarray} \]

と表せます。\(10^k\)は\(10\)を\(k\)回かけた数、1の後に0が\(k\)個並んだ数を表し、\(x_k\)は\(k\)番目の位の数を表します。\(\sum\)は和を一般的に表すための記号です。ここで、

\[\begin{eqnarray} 10^{k}&=& 9\times (10^{k-1}+\cdots+10+1) +1\\ &=&3\times 3\times\sum_{m=0}^{k-1}10^{m}+1 \end{eqnarray}\]

と分解できます。したがって、分配法則によって

\[\begin{eqnarray} x &=&  \sum _{k=0}^{\ell}  x_{k} 10^{k} \\&=& \sum _{k=0}^{\ell}  (x_{k} (3\times 3\times\sum_{m=0}^{k-1}10^{m}+1 ))\\ &=&3\times \sum _{k=0}^{\ell}  (x_{k} ( 3\times\sum_{m=0}^{k-1}10^{m}))+\sum _{k=0}^{\ell}  x_{k}\end{eqnarray} \]

となります。最初の項は3の倍数です。

もし第2項\(\sum _{k=0}^{\ell}  x_{k}\)、すなわち各桁の数の和が3の倍数ならば、合計\(x\)は3の倍数となります。

逆に、\(x\)が3の倍数ならば、各桁の数の和も3の倍数でなければなりません(そうでなければ矛盾する)。

以上によって、3の倍数の判定法が証明できました。

 

今回は、3の倍数の判定法を具体例、その証明を紹介してきました。

\(10,100\)を3で割ると必ず1余るので、各桁の数分だけ余りが出てきます。各桁の数の和が3の倍数ならば、余りが3の倍数となって割り切れるわけですね。

ぜひ、日常生活で見かけた数が、3の倍数かどうか判定してみてください。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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