どうも、木村（@kimu3_slime）です。
中学校の数学では、2次方程式を因数分解によって解くことを学びます。
なぜ、因数分解をすると解が見つかるのでしょうか。今回は、それを支える基本的な数の性質、積が0となる数の性質を紹介します。
因数分解ですべての解を見つける
例えば、\(x^2 -5x +4=0\)という2次方程式を解きたいとします。
因数分解をすると、\((x-1)(x-4)=0\)が成り立つ。
よって、解は\(x=1\)または\(x=4\)である。
と回答することを学ぶでしょう。
論理的に詳しく考えると、ちょっとしたツッコミどころがあります。
確かに、\(x=1\)または\(x=4\)が、方程式の解であることはわかります。それは因数分解された式\((x-1)(x-4)=0\)において、一方が0になるからです。
しかし、この検証で言えることは、\(x=1,4\)が解であることにすぎません。他の解がないとどうして言えるのでしょうか？
「2次方程式の解は2つしかない」という事実を認めればそれまでですが、どうしてそう言えるのでしょうか。
それは、\((x-1)(x-4)=0\)が成り立つならば、必然的に\(x=1\)または\(x=4\)でなければならない、と言えるからです。
積が0になる数の性質
因数分解をして解を得ているときは、実は数の基本的な性質を使っています。
積が0になる数の性質（zero product property）
\(a,b\)を任意の数とする。
もし\(ab =0\)ならば、\(a=0\)または\(b=0\)が成り立つ。
対偶を使って言い換えると、\(a\neq 0\)かつ\(b\neq 0\)ならば、\(ab \neq 0\)である。
かけた結果が0になるような2つの数\(a,b\)は、少なくとも一方が0でなければならない、という性質ですね。
この性質を使って、2次方程式\(x^2 -5x +4=0\)を因数分解で解いてみましょう。
\(x\)を何らかの数として、\(x^2 -5x +4=0\)を満たすものとする。
因数分解をすると、\((x-1)(x-4)=0\)が成り立つ。
\(a = x-1\)、\(b= x-4\)と置くと、\(ab=0\)である。
ここで積が0になる数の性質を用いると、\(a=0\)または\(b=0\)となる。
すなわち、\(x-1=0\)または\(x-4=0\)である。
よって、\(x=1\)または\(x=4\)でなければならないことがわかった。
少し発展的な話をしましょう。
「積が0になる数はどちらか一方は0である」という性質は当たり前のようですが、例えば行列というものをを考えると成り立たないです。例えば、
\[ \begin{aligned}A= \begin{pmatrix} 0&1\\0&1\end{pmatrix}\end{aligned} \]
\[ \begin{aligned}B=\begin{pmatrix} 1&1 \\0&0 \end{pmatrix}\end{aligned} \]
とすると、\(A \neq O, B \neq O\)ですが、
\[ \begin{aligned}AB =\begin{pmatrix} 0&0 \\0&0 \end{pmatrix}=O\end{aligned} \]
となっています。つまり、「\(AB =O\)ならば、\(A= O\)または\(B=O \)」という推測は成り立たないのです。
抽象代数学では、数や行列のように足し算や掛け算ができるようなものの集まりを、環（かん）と呼びます。そして、
\[ \begin{aligned}ab = 0 , a \neq 0 , b \neq 0 \end{aligned} \]
を満たす環の要素\(a,b\)を零因子（zero factor）と呼びます。零因子を全くもたない環は、整域（integral domain）と呼ばれるものです。
通常の数、整数や実数、複素数においては、零因子は存在しません。だから、因数分解\((x- \alpha )(x- \beta )=0\)から、解\(x = \alpha , \beta\)を得るような議論ができます。
一方で、行列においては、さきほど見たように零因子が存在しています。\((X-A)(X- B)=O\)という因数分解（因行列分解？笑）ができたとしても、\(X =A, B\)とは結論できないのです。
以上、因数分解によって2次方程式がきちんと解ける理由を、掛けてゼロになる数の性質から紹介してきました。
\(ab = 0\)ならば\(a = 0\)または\(b=0\)は、当たり前の性質のようですが、行列を考えると絶対的な法則ではありません。因数分解をして方程式を解くときに、この数の性質を使っていると意識すると、解ける理屈がより納得しやすいかと思います。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
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