マイナスかけるマイナスはなぜプラスになるのか:分配法則から

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

中学校の数学で、マイナスの数かけるマイナスの数イコールプラスの数

\[(-3)\times(-2) =6\]

\[(-1)\times(-1) =1\]

を習うと思います。なぜこれが成り立つのではしょうか? 数直線を使った感覚的な説明もありますが、今回は、分配法則を使ってこれを証明してみます。

 

マイナスかけるマイナス=プラスの理由

マイナスの数、分配法則

まず、マイナスの数の定義と性質を確認しましょう。

自然数(正の整数)に対して、分配法則が成り立つことから出発します。

\[a\times (b +c) = a\times b +a \times c\]

これは掛け算の定義から示せる性質です。\(a\)を\(b+c\)回足したものは、\(a\)を\(b\)回足し、その後\(a\)を\(c\)回足したものに等しい。

マイナスの数、負の数は、正の数\(a\)から次のように定義されます。

\[a+ b= 0\]

を満たすような\(b\)を、負の数と呼び、\(b= -a\)と書くことにします。もし、\(a,b\)ともに正の数ならば、足してゼロになることはありえません。逆に、足してゼロになるような数\(b\)が存在することにして、数の範囲を広げたと言えます。

さらに整数の計算については、足し算・掛け算で結合法則、交換法則が成り立ち、\(a \times 1= a\)、分配法則

\[a\times (b +c) = a\times b +a \times c\]

が成り立つものとします。こういう性質を持つものを、整数と呼ぶわけです。

 

マイナスかけるマイナス=プラスの証明

では、マイナス×マイナス=プラスを証明しましょう。

1の掛け算の法則\((-1)\times1=-1\)と分配法則を使えば

\begin{eqnarray}
(-1)\times(-1) – 1 &=&(-1)\times(-1) + (-1)\times1\\
&=&(-1)\times(-1 + 1)\\
&=& 0
\end{eqnarray}

なので、両辺に\(1\)を足して

\[(-1)\times(-1) =1\]

が示せました。

 

より一般の数に進みましょう。

まず、すべての整数\(a\)に対して\((-1)\times a = (-a)\)が成り立ちます。なぜなら、分配法則を使えば、

\begin{eqnarray} a+ (-1)\times a& =&1 \times a+ (-1)\times a \\
&= & \{1+(-1)\}\times a \\
&=&0 \end{eqnarray}

なので、\(-a\)の定義から、\((-1)\times a = (-a)\)です。

そして、\((-1)\times(-1) =1\)に正の数\(a,b\)を両辺にかけてみます。左辺は

\[(-1)\times(-1) \times a \times b \\
= (-1)\times a \times(-1) \times b \\
=(-a)\times (-b)
\]

と変形できるので、

\[(-a)\times(-b) =a \times b\]

が言えました。

 

整数のルールは数が多くて混乱するかもしれませんが、重要なのは、負の数の定義式\(a+(-a)=0\)と、分配法則\((a+b)\times c= a\times b +a \times c\)です。分配法則は、逆に見れば共通の因数をくくりだす法則とも言えます。

これらがわかっていれば、マイナス×マイナスがプラスになるのも、当然と思えるのではないでしょうか。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

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