ユークリッド幾何学のロードマップ、論理関係まとめ

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、ユークリッド幾何学のロードマップ、論理関係のまとめをひとつの画像にしました。小中高校で学ぶ図形、幾何の分野をまとめた図としても、参考にどうぞ。

ユークリッド幾何学のロードマップ

左上側に定義や公準・公理(議論の出発点)、右下側にそれらから導かれる定理や性質を配置しています。定義や公準は主に「Elementary Geometry for College Students」に基づいたものです。

色がついた項目を特に重要だと考えています。また、円、軌跡、立体図形関係は、中学高校で扱う内容であっても省略しています。

この図はかなり省略して描いています。矢印がないことが、論理関係が成立しないことを意味するわけではないことに注意。

以降、当サイトで紹介したユークリッド幾何学の記事を、分野ごとにまとめておきます。

点、直線

直線が「無限個の点の集まり」とは?

直線の長さが無限とは:ルベーグ測度による説明

3つの点が共線的とは:線形独立性との関係

数学における良い定義の4条件とは:線分を例に

1点、2点、3点を通る直線の個数について:座標を用いて証明

 

角度、平行、垂直

傾きが等しい直線は交わらない(平行)ことの証明、平行の定義

垂直な直線の定義、直角に交わることの証明

同位角・錯角とは:平行線の錯角の大きさが等しいことの証明

平行線の性質の逆「同位角・錯角が等しい直線は平行」の証明

角の二等分線の作図方法とその証明

直線と点を結ぶ最短の線分は垂線であることの証明

2本の平行線がの距離が一定であることの証明

 

三角形、合同

三角形の内角の和が180度であることの証明:補助線、平行線公準を用いて

三角形の合同の定義、性質(反射律、対称律、推移律)の証明

合同な三角形の垂線の長さが等しいことの証明

二等辺三角形の頂角の二等分線によってできる三角形は合同であることの証明

二等辺三角形の底角が等しいこと、その逆の証明

直角三角形の合同条件:斜辺ともう一辺の長さが等しいなら合同(HL)の証明

ユークリッド幾何における三角不等式の証明

三角形の辺の長さと角の大きさの大小関係が一致することの証明

 

四角形

四角形の定義と分類、性質まとめ:正方形は長方形か?

平行四辺形の対角線によって合同な三角形ができることの証明

平行で長さの等しい2つの辺を持つ四角形は平行四辺形であることの証明

三角形の中点連結定理の証明

台形の中点連結定理とは、証明

たこ形四角形の定義、大きさの等しい向かい合う角があることの証明

等脚台形の定義、底角が等しいことの証明

 

三角形の相似、ピタゴラスの定理、三角関数

相似な三角形の高さが辺の長さに比例することの証明

ピタゴラスの定理の相似による証明

ピタゴラスの定理の逆、直角三角形となることの証明

30、60、90度の直角三角形の辺の長さの比の覚え方、証明

幾何学・相似の応用:レンズの公式の証明

球の体積、三平方の定理の応用:金属結晶の充填率の求め方

正弦定理の三角形の面積による証明

余弦定理の証明:ピタゴラスの定理によって

 

面積

平行四辺形の面積の求め方の証明

三角形の面積はなぜ1/2をかけるか:証明

ひし形、たこ形四角形の面積の求め方、証明

相似な三角形の面積比が辺の長さの比の二乗となることの証明

正多角形の面積の求め方、証明

 

立体幾何、体積

公準「共線的でない3点に1つの平面が定まる」とは:基底による説明

交わる平面の共通部分が直線であること:線形代数による説明

公準「平面上の異なる2点を含む直線は平面内にあること」の線形代数による説明

角錐・円錐の体積はなぜ1/3か:積分による証明

球の体積でなぜ4/3が出るか:多面体による導出

角錐・円錐の体積はなぜ1/3か:積分による証明

 

その他・発展

多角形の対角線の本数の求め方:n(n-3)/2となることの証明

図形の線対称・点対称とは:行列変換の立場から

球面の幾何学入門:平行な直線が存在しないこと

双曲幾何学入門:平行な直線が無限に存在すること

円周と直径の比が一定になるのはなぜか:円周率の三角関数による定義

座標を使った中点の求め方、公式の証明

 

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

 

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