ユークリッド幾何における三角不等式の証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、ユークリッド幾何における三角不等式の証明を紹介します。

 

三角形の辺の長さ\(a,b,c\)について、常に2つの辺の長さの和は他の辺の長さより大きい

\[a < b+c\]

\[b < c+a\]

\[c < a+b\]

が成り立ちます。これは三角不等式(triangle inequality)と呼ばれるものです。

これらをまとめた条件

\[|a-b|< c<a+b\]

は、三角形の成立条件と呼ばれています。

 

今回は、「垂線が直線上の点と直線外のある点を結ぶ最短の線分」であることを前提に、三角不等式を証明していきます。

\(BC < AB +CA\)を示しましょう。

\(A\)を通り\(BC\)に垂直な線分を描き、\(BC\)との交点を\(D\)とします。

線分の長さを比較します。線分\(AD\)と点\(B\)に注目すると、\(BD\)が垂線なので最短であり、\(BD < AB\)です。

同様に、線分\(AD\)と点\(C\)に注目すると、\(CD\)が垂線なので最短であり、\(CD < CA\)です。

したがって、不等式は和を取っても成り立つことから、\(BD+CD <AB B+CA\)となります。

線分の分割と長さの関係(segment-addition postulate)から\(BD+CD=BC\)です。よって、三角不等式\(BC < AB +CA\)が示せました。

 

以上、ユークリッド幾何における三角不等式の証明を紹介してきました。

より一般に、ノルム(ベクトルの長さ)は

\[\|a+b\| \leq \|a\|+\|b\| \]

という三角不等式を満たすことが定義として要請されます。

その原型となる三角形の三角不等式ですが、垂線の最短性を用いると簡単に説明できるわけですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

 

こちらもおすすめ

積分の絶対値に関する三角不等式とは:例と証明

ユークリッド空間R^Nの内積、ノルム、距離について解説

不等式の反対称律の証明:不等式の定義から