角の二等分線の作図方法とその証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、角の二等分線図方法とその証明を紹介します。

 

角の二等分線の作図

ユークリッド幾何学では、角の二等分線というものを理論的に考えることができます。

作図(construction)において用いて良いのは、定規とコンパスです。定規は異なる2点の間を通る直線を描き、コンパスは1点から一定の距離にある曲線(円)を描くことができます。

上の図において、角\(\angle ABC\)の二等分線の作図をする方法は次の通りです。

  • \(B\)を中心として、何らかの半径で(何でも良い)コンパスを用いて曲線を描き、\(AB\)との交点を\(D\)、\(BC\)との交点を\(E\)とします。
  • さらに、\(D,E\)を中心としてコンパスで同じ半径で曲線を2つ描きます。\(\angle ABC\)の内側で交わる点を\(F\)とします。
  • \(B,F\)を定規によって直線で結びます。\(BF\)が\(\angle ABC\)の二等分線です。

 

角の二等分線の作図の証明

作図の方法は中学校で学ぶものですが、僕は当時それが二等分線となる理由を理解していなかった気がします。

では、\(BF\)が\(\angle ABC\)の二等分線となることを証明していきましょう。

\(\triangle BDF \)と\(\triangle BEF\)に注目します。

まず、共通する辺として\(BF=BF\)です。また、最初にコンパスによる作図をしたので、\(BD=BE\)です。さらに、\(F\)の作図においてもコンパスを用いているので、\(DF=EF\)です。

よって、三角形の合同条件、3つの辺の長さが等しい(SSS)ので、\(\triangle BDF \)と\(\triangle BEF\)は合同です。特に、\(\angle DBF= \angle EBF\)です。

したがって、同一の角として\(\angle ABF =\angle CBF\)であり、\(BF\)が\(\angle ABC\)の二等分線であることが示せました。

 

以上、角の二等分線の作図方法とその証明を紹介してきました。

具体的に二等分線を描く方法だけでなく、その方法にも正当性があることを知ると面白いですね。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

 

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