相似な三角形の面積比が辺の長さの比の二乗となることの証明

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、相似な三角形の面積比が辺の長さの比の二乗となることの証明を紹介します。

 

相似な2つの三角形の辺の長さを、それぞれ\(a_1,b_1,c_1\)、\(a_2,b_2,c_2\)としましょう。それらの面積を\(S_1,S_2\)とするとき、その比は

\[\frac{S_2}{S_1}= (\frac{a_2}{a_1})^2\]

といった関係を満たします。辺\(a_1,a_2\)でなく、\(b,c\)についても同様です。

例えば、辺の長さが一方の2倍\(a_2 =2a_1\)になれば、面積は\(\frac{S_2}{S_1}= 2^2=4\)倍になります。辺の長さが2倍だから面積も2倍、という単なる比例関係ではないことに注意しましょう。

 

では、証明していきましょう。

\(a_1,a_2\)の長さを持つ辺に注目し、それを基準とした高さを\(h_1,h_2\)とします。三角形の面積は、1/2×1辺の長さ×高さなので、

\[\begin{aligned}  &\frac{S_2}{S_1}  \\ &= \frac{\frac{1}{2}a_2h_2} {\frac{1}{2}a_1 h_1} \\&= \frac{a_2h_2}{a_1h_1}\end{aligned}\]

となります。一般に、相似な三角形の高さは辺の長さに比例するので、\(\frac{h_2}{h_1}=\frac{a_2}{a_1}\)です。これらを合わせれば、

\[\frac{S_2}{S_1}= (\frac{a_2}{a_1})^2\]

が得られました。

 

この関係は、三角形に限らず、相似な多角形についても成り立ちます。

例えば、2つの正方形を考えると、それらは必ず相似です。辺の長さを\(a_1,a_2\)とすると、面積比は

\[\frac{S_2}{S_1} = \frac{a_2^2}{a_1^2}= (\frac{a_2}{a_1})^2\]

という関係が成り立ちますね。辺の長さが2倍になれば、面積は4倍になります。

 

以上、相似な三角形の面積比が辺の長さの比の二乗となることの証明を紹介してきました。

図形を拡大縮小して、辺の長さが倍になる状況を考えるとき、面積は倍になるのでなく、倍の二乗になることを意識しましょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

 

 

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