# 数学の記号、表記法一覧

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

この記事では、「趣味の大学数学」における数学の記号、表記法（ノーテーション）をまとめておきます。

2つ以上の記法があるものは、左側の表記を優先して使っています。一般的なテキストと読み替えができるよう、2個目以降の記法を紹介しておきました。

## 論理学、証明

$\lnot A$,$\overline {A}$ $A$でない。否定 not $A$ \lnot A
$A \lor B$ $A$または$B$。論理和 $A$ or $B$ A \lor B
$A \land B$ $A$かつ$B$。論理積 $A$ and $B$ A \land B
$A \Rightarrow B$,$A \to B$ （もし）$A$ならば$B$。含意 $A$ implies $B$. if $A$, then $B$ A \Rightarrow B
$A \Leftrightarrow B$,$A \equiv B$,$A \leftrightarrow B$ $A$と$B$は同値。$A$であるのは$B$であるとき、かつその時に限る。必要十分条件。

$A :\Leftrightarrow B$で、$A$を$B$によって定義する。

$A$ is equivalent to $B$. $A$ if only if $B$ A \Leftrightarrow B
$\forall x (A(x))$ すべての$x$について$A(x)$が成り立つ。任意の$x$に関して$A(x)$である。全称命題。 for all $x$, $A(x)$ holds. for any. arbitrary \forall x (A(x))
$\exists x (A(x))$ ある$x$は$A(x)$を満たす。$A(x)$を満たす$x$が（少なくともひとつ）存在する。存在命題。 there exists a $x$ such that $A(x)$ holds. … $x$ satisfying $A(x)$ \exists x (A(x))
$\exists! x (A(x))$ $A(x)$を満たす$x$が一意に存在する。ただひとつ存在する。一意存在。 there exists a unique $x$ such that $A(x)$ holds. there exists exactly one $x$ … (\exists! x (A(x))
$\top$ 恒真命題。トートロジー。 tautology \top
$\bot$ 矛盾命題。恒偽命題。 contradiction \bot

## 数の集合

$\mathbb{N}$ （1以上の）自然数の集合 the set of natural numbers \mathbb{N}
$\mathbb{Z}$ 整数の集合 the set of integers \mathbb{Z}
$\mathbb{Q}$ 有理数の集合 the set of rational numbers \mathbb{Q}
$\mathbb{R}$ 実数の集合。数直線。 the set of real numbers \mathbb{R}
$\mathbb{C}$ 複素数の集合 the set of complex numbers \mathbb{C}
$\mathbb{R}^N$ $N$次元の実数空間。座標平面。ユークリッド空間。 the Euclidean space \mathbb{R}^N
$(a,b)$ （実数の）開区間 an open interval (a,b)
$[a,b]$ （実数の）閉区間 a closed interval [a,b]
$B(a,r)$ $a$を中心とする半径$r$の開球 an open ball of radius $r$ and center $a$ B(a,r)
$S^{N-1}$ $N-1$次元の球面 $N-1$-sphere S^{N-1}

## 集合論

$x \in A$ $x$は$A$の要素である。その否定は$x \notin A$ $x$ is an element of $A$ x \in A
$\{x \mid A(x)\}$ $A(x)$を満たす$x$の集合。外延的記法。 set-builder notation \{x \mid A(x)\}
$A \subset B$,$A \subseteq B$ $A$は$B$の部分集合である。その否定は$A \not \subset B$ $A$ is a subset of $B$ A \subset B
$A \subsetneqq B$ $A$は$B$の真部分集合である。 $A$ is a proper subset of $B$ A \subsetneqq B
$A=B$ $A$と$B$は等しい。

$A:=B$で、$A$を$B$によって定義する

$A$ and $B$ are equal A=B
$X \backslash A$,$X-A$,$A^{c}$,$\overline{A}$ （$X$における）$A$の補集合。$X$から$A$を引いた差集合。 the complement of $A$. the set difference of $X$ and $A$ X \backslash A
$A \cup B$ $A$と$B$の和集合 the union of $A$ and $B$ A \cup B
$A \cap B$ $A$と$B$の共通部分 the intersection of $A$ and $B$ A \cap B
$\varnothing$,$\emptyset$ 空集合 the empty set \varnothing
$P(A)$,$2^{A}$ $A$のべき集合。部分集合全体からなる集合。 the power set of $A$ P(A)
$A\times B$ $A$と$B$の直積集合。順序対$(a,b)$の集合。 the product set of $A$ and $B$ A\times B
$A/\sim$,$A/B$ 同値関係$\sim$による$A$の商集合。$B$による$A$の商集合。 the quotient set of $A$ by $\sim$ A/\sim
$f:A\to B$ $A$から$B$への写像、関数。$A$を定義域、$B$を行き先（終域）とする写像。 a mapping (function) $f$ from $A$ to $B$. Its domain is $A$, codomain is $B$. f:A\to B
$G(f)$ $f$のグラフ the graph of $f$ G(f)
$\mathrm{card}(A)$,$|A|$,$\#A$ $A$の濃度 the cardinality of $A$ \mathrm{card}(A)
$\aleph _0$ 自然数の濃度。可算無限。アレフ・ゼロ。 the cardinality of countable sets \aleph _0
$\aleph$ 実数の濃度。非可算無限。連続体の濃度。 the cardinality of uncountable sets \aleph

## 線形代数学

$a= (a_1,\dots, a_N)$,$\mathbf{a}$,$\overrightarrow{a}$ 第$i$成分が$a_i$の、$N$次元のベクトル。 a $N$-dimensional vector that its $i$-th component is $a_i$ a= (a_1,\dots, a_N)
$0$,$\mathbf{0}$,$o$ 0ベクトル。原点。 the zero vector 0
$e_i$ 第$i$成分が1の単位ベクトル the $i$-th  unit vector e_i
$\langle a,b\rangle$,$a \cdot b$ $a$と$b$の（ユークリッド）内積 the inner product of $a$ and $b$ \langle a,b\rangle
$\|a\|$,$|a|$ $a$の（ユークリッド）ノルム、大きさ the norm of $a$ \|a\|
$d(a,b)$ $a$と$b$の（ユークリッド）距離 the distance from $a$ to $b$ d(a,b)
$A = (a_{ij})$ 第$i$行第$j$列の成分が$a_{ij}$である行列。 a matrix that its element in $i$-th row and $j$-th column is $a_{ij}$ A = (a_{ij})
$O$ 0行列 the zero matrix O
$I$,$I_N$,$E$ （$N$次の）単位行列 the identity matrix I
$\mathrm{span}(S)$ $S$の張る線形空間。生成する線形空間 a linear space spanned (generated) by $S$ \mathrm{span}(S)
$\mathrm{dim} V$ $V$の次元 the dimension of $V$ \mathrm{dim} V
$\mathrm{rank} A$ $A$のランク the rank of $A$ \mathrm{rank} A
$f(X), \mathrm{Im} f$,$f[X]$ $f$による$X$の像、値域 the image of $f$, the image of $X$ under $f$ f(X)
$\mathrm{Ker} f$,$N(f)$ $f$の核、零空間 the kernel of $f$ \mathrm{Ker} f
$A^{-1}$ $A$の逆行列 the inverse matrix of $A$ A^{-1}
$\det A$,$|A|$ $A$の行列式 the determinant of $A$ \det A
$A^{\top}$ $A$の転置行列 the transpose matrix of $A$ A^{\top}
$p_A(\lambda)$,$\Phi _A (x)$ $A$の固有多項式、特性多項式 the characteristic polynomial of $A$ p_A(\lambda)
$e^{A}$,$\exp (A)$ $A$の指数行列 the matrix exponential of $A$ e^{A}

## 微積分学、関数

$a\leq b$,$a \leqq b$ $a$は$b$より小さいか等しい $a$ is less than or equal to $b$ a\leq b
$a < b$ $a$は$b$より（真に）小さい $a$ is less than  $b$ a < b
$a^b$,a^b $a$の$b$乗 $a$ to the power of $b$ a^b
$\sin x , \cos x, \tan x$ 三角関数。サイン、コサイン、タンジェント。 a trigonometric function. sine, cosine, tangent \sin x , \cos x, \tan x
$\pi$ 円周率、パイ Pi
$e$ オイラー数、ネイピア数、自然対数の底 Euler’s number e
$n!$ $n$の階乗 the factorial of $n$ n!
$\lim _{n\to \infty} a_n$ ${a_n}_{n \in \mathbb{N}}$の極限 the limit of ${a_n}_{n \in \mathbb{N}}$ \lim _{n\to \infty} a_n
$\lim_{x\to a} f(x)$ $x$を$a$に近づける時の$f$の極限 the limit of $f$ as $x$ approaches $a$ \lim_{x\to a} f(x)
$\frac{df}{dx}$,$f^{\prime}$,$\dot{x}$ $f$の（常）微分、1回導関数 the derivative of $f$ \frac{df}{dx}
$f(x)= o(g(x))$ $f$は$g$に比べて無視できるほど小さい、高次の無限小である。スモールオー。 $f$ is little-o of $g$ f(x)= o(g(x))
$f(x)= O(h(x))$ $f$は$h$によって抑えられる。ビッグオー。 $f$ is big-O of $h$ f(x)= O(h(x))
$\int f(x) dx$ $f$の積分 the integration of $f$ \int  f(x) dx
$\frac{\partial u}{\partial t}$ $u$の$t$に関する偏微分 the partial derivative of $u$ with respect to $t$ \frac{\partial u}{\partial t}
$\nabla f$,$\mathrm{grad} f$ $f$の勾配ベクトル、グラディエント the gradient of $f$ \nabla f
$J_f$ $f$のヤコビ行列 the  Jacobi matrix of $f$ J_f
$\Delta u$ $u$のラプラシアン the Laplacian of $f$ \Delta u

## 抽象代数学（群・環・体）

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 加法巡回群 additive cyclic groups \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
$C_n$ 巡回置換群 cyclic groups C_n
$\ast$,$\ast_G$ 二項演算を表す記号 binary operation \ast
$G_1 \simeq G_2$ $G_1,G_2$は群として同型 $G_1$ and $G_2$ are isomorphic as groups G_1 \simeq G_2
$D_n$ 二面体群 dihedral groups D_n
$S_n$,$S_n(X)$ 対称群、置換群 symmetry groups, permutation groups S_n
$\mathrm{sgn}(f)$ $f$の符号 the sign of $f$ \mathrm{sgn}(f)
$A_n$ 交代群 alternating groups A_n
$M_N$,$M(N)$ 行列群、正方行列のなす群 matrix groups M_N
$GL_N$ 一般線形群、可逆行列のなす群 general linear groups GL_N
$O_N$ 直交群 orthogonal groups O_N
$SL_N$ 特殊直交群、回転群 special orthogonal groups, rotation groups SL_N
$K[x]$ $K$上の多項式環 a polynomial ring over $K$ K[x]

## 多様体、位相幾何学

$\mathbb{T}^{N}$ $N$次元のトーラス $N$-torus \mathbb{T}^{N}
$\mathbb{RP}^{N}$ $N$次元の実射影空間 the real projective space of dimension $N$ \mathbb{RP}^{N}

## 関数の空間、関数解析

$C^{0}$,$C$ 連続関数のなす空間 the space of continuous functions C^{0}
$C^1$ 微分可能かつ導関数が連続である関数のなす空間 the space of continious functions that have continuous derivatives C^1
$L^{p}$ （ルベーグの意味で）$p$乗可積分関数のなす空間 the $L^{p}$ spaces L^{p}
$\|f\|_p$, $\|f \|_{L^{p}}$ $f$の$L^{p}$ノルム $L^{p}$-norm of $f$ \|f\|_p
$W^{k,p}$ ソボレフ空間 the Sobolev spaces W^{k,p}

## 力学系理論

$\omega (p)$ $p$の極限集合 the limit set of $p$ \omega (p)
$E^{s},E^{u},E^{c}$ 安定部分空間、不安定部分空間、中心部分空間 stable subspaces, unstable subspaces, center subspaces E^{s},E^{u},E^{c}
$W^{s},W^{u},W^{c}$ 安定多様体、不安定多様体、中心多様体 stable manifolds, unstable manifold, center manifolds W^{s},W^{u},W^{c}

## 統計学、確率論

$E[X]$ $X$の期待値 the expected value of $X$ E[X]
$V[X]$ $X$の分散 the variance of $X$ V[X]

この一覧は随時更新予定です。