どうも、木村（@kimu3_slime）です。
偏微分方程式の一部は、変数分離法、すなわち解を
\[ \begin{aligned}u(x,t)=v(x)w(t)\end{aligned} \]
と分離した形で解くことができます。例えば、熱方程式、波動方程式がそうです。
これはなぜなのでしょうか。その根拠、理由を紹介します。
解法の一種にすぎない
そもそも論ですが、変数分離法は偏微分方程式の解法の一種にすぎません。
例えば、1次元全空間における波動方程式の解、ダランベールの公式の導出には、変数分離法を用いていません。常微分方程式を解くのにいつでも定数変化法を使うわけではないのと同じように、偏微分方程式にいつでも変数分離法を使うわけではありません。
変数分離法は、問題に合わせて選ばれた解法と言えます。
方程式の線形性
例として、1次元の熱方程式の初期値・境界値問題
\[\left\{\begin{array}{l}\dfrac{\partial u}{\partial t} &= \Delta u \quad & \text{in } (0,1)\times (0,\infty) \\ u &= 0 \text{on } \{x=0,1\}\times [0,\infty) \\ u &= g \text{on } (0,1)\times \{t=0\} \\ \end{array}\right.\]
を考えましょう。
「もし」変数分離される解があったとすると、境界条件から、\(n\)を自然数として
\[ \begin{aligned}v_n(t)w_n(x)=Ce^{- n^2 \pi^2 t} \sin n\pi x\end{aligned} \]
という形までしぼりこまれます。これは内部で\(\Delta u=0\)を満たすという意味の解です。
しかしこれだけでは問題の解とは言えません。境界条件を満たすとは限らないからです。そこで、これらの解の重ね合わせとして
\[ \begin{aligned}u(x,t)= \sum _{n=1} ^\infty c_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin n\pi x\end{aligned} \]
という関数を解の候補として考えます。
この議論が有効なのは、偏微分方程式が線形だからです。2階線形微分方程式の例としては、ラプラス方程式、熱方程式、波動方程式などがあります。
厳密に言えば、関数の無限和・級数を考えるときにはもう少し議論が必要です。つまり、上の式によって定まる関数項級数が、（一様）収束し、項別に微分できること、偏微分と\(\sum\)の順序交換ができることを正当化する必要があります。ただし、結果としては正しいことが知られているので、しばしば教科書や講義でもこの議論は省略されがちですが。
（解をひとつ提示しているだけなのは、線形偏微分方程式の多くの初期値・境界値問題では、解の一意性が保証されている、一般論として知られているからです。ひとつ構成できれば、それが唯一の解というわけです。）
固有関数系の完全性
さて、変数分離法によって部分的な解
\[ \begin{aligned}u(x,t)= \sum _{n=1} ^\infty c_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin n\pi x\end{aligned} \]
を得たからといって、これが勝手に問題の解になるわけではありません。係数\(c_n\)をうまく選ぶことで、初期条件を満たすようにできるから、変数分離法はうまくいくのです。
熱方程式の場合は、
\[ \begin{aligned}u(x,0)=\sum _{n=1} ^\infty c_n \sin n \pi x \\ = g(x)\end{aligned} \]
という形をしているので、これは初期値のフーリエ級数展開です。フーリエ級数展開は、さまざまな関数に対して行うことができる（三角関数系の完全性）ので、無事に解を構成できます。
1次元の問題では、変数分離形の空間方向の解は、
\[ \begin{aligned}-\frac{d^2 u}{dx^2} = \lambda u\quad x \in [0,L] \\ u=0 \quad x =0,L\end{aligned} \]
という常微分方程式の固有値問題に帰着されます。これは簡単に解くことができて、その固有関数として三角関数系が現れます。
高次元の問題
\[ \begin{aligned}-\Delta u= \lambda u\end{aligned} \]
でも、固有関数系\((w_n)\)によって固有関数展開できることが知られています。Evans「Partial Differential Equations」を参照。
問題に合わせて、単なる三角級数でなく、他の関数系を使った級数展開（一般フーリエ級数）を使うこともあります。例えば球面におけるラプラス方程式がそうです。
参考：一般フーリエ級数とは：フーリエ・ルジャンドル級数、フーリエ・ベッセル級数を例に
変数分離形の空間方向として得られる常微分方程式の多くは、ストゥルム・リウビル型に分類されます。多くの問題で、固有関数系による一般的な関数の級数展開ができると知られているわけです。
参考：ストゥルム・リウビル型微分方程式における固有関数の直交性の証明
以上をまとめると、変数分離法によって偏微分方程式が解けるのは、
- 方程式が線形だから（重ね合わせで部分的な解が構成できる）
- 初期条件、一般的な関数を（一般）フーリエ級数展開、固有関数系によって展開できるから
と言えます。変数分離形の解は、重ね合わせることで十分な表現力を持っている。その結論を先取りして、しばしば「解を変数分離形と仮定する」といったように議論するわけですね。
特殊な関数系の重ね合わせで一般的な関数が表現できる、（一般）フーリエ級数展開は、当たり前ではない、驚くべき便利な事実だと思います。
変数分離法を使いこなしつつ、疑問に思ったら、フーリエ解析や偏微分方程式の教科書を読んでみると良いでしょう。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
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