一般フーリエ級数とは：フーリエ・ルジャンドル級数、フーリエ・ベッセル級数を例に

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、一般フーリエ級数とは何か、フーリエ・ルジャンドル級数、フーリエ・ベッセル級数を例に紹介します。

一般フーリエ級数とは
フーリエ・ルジャンドル級数
フーリエ・ベッセル級数
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一般フーリエ級数とは

そもそもフーリエ級数とは、\(f\)という一般的な関数を、三角関数系\(\{1,\cos nx, \sin nx\}\)によって

\[ \begin{aligned}f(x)= a_0 +\sum_{k=0}^\infty (a_n \cos nx +b_n\sin nx)\end{aligned} \]

と展開することでした。

このような展開ができるのは、三角関数が互いに（積分の内積について）直交しているからです。

そこで、三角関数に限らず直交する（完全な）関数系\((y_k)\)による展開を考えてみましょう。

\[ \begin{aligned}f(x)= \sum_{k=0} ^\infty a_k y_k\end{aligned} \]

これを一般フーリエ級数（generalized Fourier series）、直交級数展開（orthogonal expansion）と呼びます。ストゥルム・リウビル型微分方程式における直交した固有関数を用いるときは、固有関数展開（eigenfunction expansion）とも呼びます。

係数\(a_k\)はどのように定めたら良いでしょうか。関数系\((y_k)\)は、区間\([a,b]\)において重み\(r(x)\)つき内積について直交しているとします。\(f\)と\(y_n\)の重み付き内積を取ると、

\[ \begin{aligned} &\langle f,y_n\rangle \\&=\langle \sum_{k=0} ^\infty a_k y_k ,y_n \rangle \\ &= \sum_{k=0} ^\infty a_k \langle y_k ,y_n \rangle \\ &= a_n \langle y_n ,y_n \rangle \\ &= a_n\|y_n\| ^2 \end{aligned} \]

となるので、

\[ \begin{aligned}a_n = \frac{\langle f,y_n\rangle}{\|y_n\|^2}\end{aligned} \]

と定めれば良いわけです。

フーリエ・ルジャンドル級数

ルジャンドル多項式やベッセル関数といった関数系は、ストゥルム・リュウビル型微分方程式の理論により、直交していることが知られています。

ルジャンドル多項式\(P_k\)による級数展開

\[ \begin{aligned}f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k P_k (x)\end{aligned} \]

を、フーリエ・ルジャンドル級数（Fourier-Legendre series）と呼びます。

考えている区間は\([-1,1]\)で、重みは\(r(x)=1\)です。ノルムの大きさは

\[ \begin{aligned}\|P_k\|= \sqrt{\frac{2}{2k+1}} \end{aligned} \]

であると知られているので、係数は

\[ \begin{aligned}a_k = \frac{2k+1}{2} \int_{-1}^1 f(x)P_k(x)dx\end{aligned} \]

となります。

例として、\(f(x)= \sin \pi x\)を1次の項まで計算してみましょう。\(P_1(x)=1\)、\(P_2 (x)=x\)であり、

\[ \begin{aligned}a_0 = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 \sin \pi x dx\\ =0\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}a_1 = \frac{3}{2}\int_{-1}^1 (\sin \pi x)x dx\\ =\frac{3}{2}([-\frac{1}{\pi} (\cos \pi x)x]_{-1}^1+\frac{1}{\pi} \int_{-1}^1 \cos \pi dx) \\ = \frac{3}{\pi}\end{aligned} \]

なので、

\[ \begin{aligned}a_0P_0(x)+ a_1P_1(x) =\frac{3}{\pi}x\end{aligned} \]

となりました。