数列・関数の極限の性質：線形性、四則演算との交換

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、数列・関数の極限の性質、線形性、四則演算との交換を紹介、証明します。

数列の極限の性質
関数の極限の性質
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数列の極限の性質

\((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\)、\((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\)を収束する数列とし、その極限を\(\lim_{n \to \infty } a_n =a\)、\(\lim_{n \to \infty } b_n =b\)とする。

このとき、その和、スカラー倍、積、商も収束し、次の式が成り立つ。

\(\lim_{n \to \infty}(a_n +b_n)=a+b\)
\(\lim_{n \to \infty}(c a_n )=ca\)
\(\lim_{n \to \infty}a_n b_n=ab\)
\(b \neq 0\)ならば\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}\)

これを証明しましょう。

収束すること\(\lim_{n \to \infty } a_n =a\)の定義は、任意の\(\varepsilon >0\)に対し、「\(n \geq N\)ならば\(|a_n-a |< \varepsilon\)」を満たす\(N \in \mathbb{N}\)が存在することでした。

1.和について。

\(\varepsilon>0\)を任意とします。仮定より、「\(n \geq N_1\)ならば\(|a_n-a |< \frac{\varepsilon}{2}\)」を満たす\(N_1 \in \mathbb{N}\)と「\(n \geq N_2\)ならば\(|b_n-b |< \frac{\varepsilon}{2}\)」を満たす\(N_2 \in \mathbb{N}\)が存在します。\(N\)を\(N_1,N_2\)の大きい方の自然数としましょう。\(n \geq N\)のとき、三角不等式を使えば

\[ \begin{aligned} |a_n+b_n -(a+b)| & \leq|a_n-a|+|b_n-b| \\ &<& \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \\ &=\varepsilon \end{aligned} \]

が成り立つことが言えました。

2.スカラー倍について。

\(c=0\)のときは\(\lim_{n\to \infty} 0 = 0\)なので、\(c\neq 0\)のケースを考えます。

\(\varepsilon>0\)を任意とします。仮定より、「\(n \geq N\)ならば\(|a_n-a |< \frac{\varepsilon}{|c|}\)」を満たす\(N \in \mathbb{N}\)が存在します。\(n\geq N\)のとき、

\[ \begin{aligned} |ca_n -ca| &= |c||a_n -a |\\ &<& |c| \frac{\varepsilon}{|c|} \\ &=\varepsilon\end{aligned} \]

が成り立つと言えました。

3.積について。

準備として、収束する数列は有界であることを示します。

\((a_n)\)が収束することから、「\(n \geq N_1\)ならば\(|a_n-a|<1\)」を満たす\(N_1\in \mathbb{N}\)が存在します。\(|a_n-a|<1\)を使うと、\(|a_n|<|a-1|\)かつ\(|a_n| < |a+1|\)です。したがって、\(K_1 :=\max \{|a_1|,\dots,a_{N_1 -1}|,|a-1|,|a+1|\}\)と置けば、すべての\(n \in \mathbb{N}\)に対し、\(|a_n| \leq K_1\)と言えました。

\((b_n)\)についても同様にして、すべての\(n \in \mathbb{N}\)に対して\(|b_n| \leq K_2\)となります。\(K:= \max {K_1,K_2}\)としましょう。

\(\varepsilon>0\)を任意とします。先を見越して、\((a_n),(b_n)\)の収束を利用します。「\( n \geq N\)ならば、\(|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2K}\)、\(|b_n-b|< \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}\)」を満たす\(N \in \mathbb{N}\)が存在します。

\(n\geq N\)のとき、三角不等式、有界性、収束性を順に使うと、

\[ \begin{aligned} |a_nb_n -ab|& \leq |a_n b_n -ab_n|+|ab_n -ab| \\ & \leq K |a_n-a|+|a||b_n-b| \\ &<& K\frac{\varepsilon}{2K} +|a| \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} \\ & \leq \varepsilon \end{aligned} \]

が示せました。

4.商について。

\(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}\)を示せれば、積の性質から\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}\)が示せます。

\(\varepsilon>0\)を任意とします。

\(b \neq 0\)より\(|b|>0\)に注意して、\((b_n)\)が収束することから、「\(n \geq N_1\)ならば\(|b_n-b|<\frac{1}{2}|b|\)」を満たす\(N_1\)が存在します。三角不等式より\(|b|-|b_n|<|b_n-b|\)なので、\(n \geq N_1\)のとき、\(|b_n|>\frac{1}{2}|b|>0\)です。つまり、分母に\(b_n\)が登場しても問題ありません。

先を見越して、\((b_n)\)が収束することから、「\(n \geq N_2\)ならば\(|b_n-b|<\frac{1}{2}|b|^2 \varepsilon\)」を満たす\(N_2\)が存在します。

\(N:=\max \{N_1,N_2\}\)とすると、\( n \geq N\)のとき、

\[ \begin{aligned} |\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}| &=| \frac{b-b_n}{bb_n} | \\&<&\frac{2|b-b_n|}{|b|^2}\\ &<&\frac{2}{|b|^2}\frac{1}{2}|b|^2 \varepsilon \\ &= \varepsilon \end{aligned} \]

となることが言えました。

特に