位相の強弱とは:密着位相と離散位相を例に

どうも、木村(@kimu3_slime)です。

今回は、位相空間の強弱について、密着位相と離散位相を例に紹介します。

 

密着位相と離散位相

例として、1次元ユークリッド空間、実数全体\(\mathbb{R}\)の集合を扱いましょう。

そこにはユークリッド距離\(d(x,y)=|x-y|\)を使って、内点のみからなる集合として開集合を定義することができます。その開集合系を\(\mathcal{O}_2\)と表し、ユークリッド位相(Euclidean topology)、距離が誘導する位相と呼びましょう。

これは\(\mathbb{R}\)で通常扱われることが多い位相ですが、他にも極端な位相を考えることができます。

 

例えば、\(\mathcal{O}_1 := \{\varnothing ,\mathbb{R}\}\)としましょう。これは位相空間の定義を満たします。この位相\(\mathcal{O}_1\)を、密着位相(indiscrete topology)と呼びます。

また、\(\mathcal{O}_3 := \mathcal{P}(\mathbb{R})\)としましょう。\(\mathcal{P}(\mathbb{R})\)は\(\mathbb{R}\)のべき集合(部分集合全体の集合)です。この位相\(\mathcal{O}_3\)を、離散位相(discrete topology)と呼びます。

 

位相の強弱

\(\mathbb{R}\)におけるこれらの位相\(\mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2, \mathcal{O}_3\)を、具体的に比較してみましょう。いくつかの部分集合が、開集合かどうかを調べて、何が違うのか考えてみます。

 

空集合\(\varnothing \)は、すべて開集合になっています。\(\varnothing \in \mathcal{O}_1 , \mathcal{O}_2, \mathcal{O}_3\)。

一点集合\(\{0\}\)について考えてみます。密着位相では、空集合と全体集合しか開集合でないので、開集合でもありません\(\{0\} \not \in \mathcal{O}_1\)。ユークリッド位相では、これは内点を持たないので、開集合ではありません\(\{0 \} \not \in \mathcal{O}_2\)。しかし、離散位相においてはすべての部分集合が開集合なので、\(\{0\} \in \mathcal{O}_3\)です。

(ユークリッド位相における)開区間\((0,1)\)について考えます。密着位相では開集合ではありません\((0,1) \not \in \mathcal{O}_1\)。しかし、ユークリッド位相ではこれは開集合です\( (0,1) \in \mathcal{O}_2\)。離散位相では、当然開集合です\((0,1) \in \mathcal{O}_3\)。

実数全体\(\mathbb{R}\)は、共通して開集合です\(\mathbb{R} \in \mathcal{O}_1 , \mathcal{O}_2, \mathcal{O}_3\)。

 

開集合かどうかというのは、それらの位相において「ひとまとまり」かを考える基準と解釈できます。

ユークリッド位相においては、一点集合はひとまとまりではありません。しかし、それすらもまとまりであると捉えるのが、離散位相です。

開区間は、ユークリッド位相においてはひとまとまりです。しかし、それすらもひとまとまりではないと捉えるのが、密着位相です。

(開集合をひとまとまりと言い換えていますが、つながっていること:連結性とは別の概念であることに注意)

この状況を、板チョコレートに例えて説明してみます。

密着位相は、板全体のみ(と空集合)をひとまとまりとして考えます。ユークリッド位相では、仕切りに沿ってわかれたほどよい大きさ(開区間)がひとまとまりです。離散位相は、チョコが粉微塵(一点集合)になったとしても、それをひとまとまりと考えています。

 

以上の例から、位相の強弱について考えることができます。

例えば、開区間は、ユークリッド位相の開集合であると同時に、離散位相の開集合となっていました。ユークリッド位相では開集合でない部分集合がありますが、離散位相ではすべての部分集合が開集合となっています。

一般に、位相空間の位相\( \mathcal{O}_1 , \mathcal{O}_2\)が\( \mathcal{O}_1  \subset \mathcal{O}_2\)を満たすとき、\( \mathcal{O}_2\)は \(\mathcal{O}_1 \)より強い位相(strong topology)である、\( \mathcal{O}_1\)は \(\mathcal{O}_2 \)より弱い位相(weak topology)であると呼びます。

今まで見てきた例ならば、\( \mathcal{O}_1\)より \(\mathcal{O}_2 \)が、\( \mathcal{O}_2\)より \(\mathcal{O}_3\)が強い位相となっています(部分集合の定義にしたがって、確かめてみてください)。

強弱と同じ意味ですが、\( \mathcal{O}_2\)は \(\mathcal{O}_1 \)より細かい位相(fine topology)である、\( \mathcal{O}_1\)は \(\mathcal{O}_2 \)より粗い位相(coarse topology)とも呼ばれます。

 

この言葉づかいは、応用にも見られるものです。関数解析の分野では、関数列の強収束(ノルムによる収束)と弱収束(内積を使った収束)という概念があります。強収束するならば弱収束しますが、逆は一般に成り立ちません。弱微分弱連続弱コンパクトという概念もあります。

これに関連して、強位相、弱位相という概念があり、それは今回の意味で強い/弱い位相となっています。

 

以上、位相空間の強弱について、密着位相と離散位相を例に紹介してきました。

密着位相、離散位相とその中間の強さを持つユークリッド位相を考えることで、位相空間の概念も具体的にイメージしやすくなるでしょう。

木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。ではでは。

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