2次元線形力学系の平衡解の分類：スパイラル（渦状点）とは

どうも、木村（@kimu3_slime）です。

今回は、2次元線形力学系の平衡点の分類：スパイラル（渦状点）とは何か紹介します。

2次元の線形力学系とは
スパイラルとは
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2次元の線形力学系とは

2次元（平面）の線形力学系とは、\(x(t)=(x_1(t),x_2(t))\)、\(A\)をサイズ\(2,2\)の行列として

\[ \begin{aligned}\frac{dx}{dt}= Ax\end{aligned} \]

と表される連立常微分方程式のことです。

\(Ax=0\)を満たす解、つまり\(x=0\)を平衡解（定常解、固定点、臨界点）と呼びます。

参考：方程式を解かずに、解の軌跡・安定性を調べてみよう力学系理論入門、線形微分方程式の解の安定性は「固有値」を調べればわかる、1次元の線形力学系とは：相図の書き方、安定性

2次元の力学系では、平衡解はおよそ3つに分類されます。

ノード（結節点）
サドル（鞍点）
スパイラル（渦状点）

今回はスパイラルについて紹介しましょう。

解の挙動は、行列の固有値によって影響を受けます。行列の成分を

\[ \begin{aligned}A= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\end{aligned} \]

と表すとき、その固有方程式は

\[ \begin{aligned} &\det (\lambda I-A) \\&= \lambda^2 -(a+d)\lambda +(ad-bc)\\ &= \lambda^2 -\mathrm{tr}A \lambda +\det A\\&= 0 \end{aligned} \]

となるので、固有値は

\[ \begin{aligned} \lambda = \frac{\mathrm{tr} A \pm \sqrt{(\mathrm{tr} A) ^2 – 4 \det A}}{2} \end{aligned} \]

となります。

スパイラルとは

2つの固有値が虚数部分を持つとき、平衡解はスパイラル（渦状点 saddle）、フォーカス（focus）であると呼ばれます。

つまり、\((\mathrm{tr} A) ^2 – 4 \det A< 0\)、のケースです。

不安定スパイラル

\[ \begin{aligned}A= \begin{pmatrix} 1&2\\ -2&1 \end{pmatrix}\end{aligned} \]

のとき、固有値は\(1\pm 4i\)で、対応する固有ベクトルは\((1,2i),(1,-2i)\)です。実固有ベクトルは存在しません。

固有値の実部が正なので、平衡点は不安定です。これは不安定なスパイラル（unstable spiral）と呼ばれます。

解曲線を求めてみましょう。微分方程式の1本目の式に\(x_1\)をかけると、\(x_1 \frac{dx_1}{dt} =x_1^2+2x_1x_2\)です。2本目の式に\(x_2\)をかけて、\(x_2 \frac{dx_2}{dt} =-2x_1x_2+x_2^2\)。これらを足せば、\(x_1 \frac{dx_1}{dt}+x_2 \frac{dx_2}{dt}=x_1^2+x_2^2\)です。

ここで極座標として、\((r(t))^2=x_1^2+x_2^2\)としましょう。両辺を\(t\)について微分すれば、\(2r \frac{dr}{dt} =2(x_1 \frac{dx_1}{dt}+x_2 \frac{dx_2}{dt})\)です。したがって、\(\frac{dr}{dt} =r\)。これを解けば、\(r= C e^{t}\)という対数螺旋が得られました。

安定スパイラル

\[ \begin{aligned}A= \begin{pmatrix} -2&1\\ -1&-2 \end{pmatrix}\end{aligned} \]

のとき、固有値は\(-2\pm 2i\)で、対応する固有ベクトルは\((1,2i),(1,-2i)\)です。実固有ベクトルは存在しません。

固有値の実部がともに負なので、平衡点は漸近安定です。これは安定なスパイラル（unstable spiral）と呼ばれます。

さきほどと同様の議論で、解曲線を求めてみます。\(x_1 \frac{dx_1}{dt}+x_2 \frac{dx_2}{dt}=-2(x_1^2+x_2^2)\)から、\(\frac{dr}{dt} =-2 r\)。これを解くと\(r(t) = Ce^{-2t}\)という対数螺旋が得られます。

センター（中心点）

\[ \begin{aligned}A= \begin{pmatrix} 0&1\\ -2&0 \end{pmatrix}\end{aligned} \]

のとき、固有値は\(\pm 2\sqrt{2} i\)で、対応する固有ベクトルは\((1,2\sqrt{2}i),(1,-2\sqrt{2}i)\)です。実固有ベクトルは存在しません。

固有値の実部がともに0なので、平衡点は（リヤプノフ）安定です。平衡点に一定以上近づくことも離れることもありません。これはセンター（中心点 center）と呼ばれます。

解曲線を求めてみましょう。微分方程式の1本目の式に\(2x_1\)をかけ、2本目の式に\(x_2\)をかけて足せば、\(2x_1 \frac{dx_1}{dt} +x_2 \frac{dx_2}{dt}=0\)が得られます。これを積分すると、\(x_1^2+\frac{1}{2} x_2 ^2 =C\)という楕円の方程式が得られました。

センターは、例えばおもりバネの振動や、振り子の運動方程式において、振幅が小さく周期解となるときに対応しています。