どうも、木村（@kimu3_slime）です。
Σ（シグマ）記号を使った計算は、統計学をはじめとして、数学や科学でよく使われるものです。
今回は、数学における総和の記法（Σ記法）とは何か、その計算方法、性質について紹介します。
総和の記法とは
総和の記法（シグマ記法）とは、大量の足し算（和）を簡潔に記述するための方法です。
例えば、\(1,3,5,7,9\)という5つの数の和を表したいとしましょう。これらを\(x_1 =1\)、\(x_2 =3\)、\(x_3 =5\)、\(x_4 =7\)、\(x_5=9\)と、番号をつけた文字を使って表したとします。これらの和を、
\[ \begin{aligned} \sum_{k=1} ^5 x_k &=x_1 +x_2+x_3+x_4+x_5 \\ &=1+3+5+7+9 \\ &= 25\end{aligned} \]
と表しましょう。
\(\sum\)という記号は、足し合わせること（summation）の頭文字Sに対応したシグマというギリシャ文字です。\(\sum\)の右側にある数\(x_k\)を足し合わせることを意味します。
下側についた文字（添字）\(k\)は、足し合わせるときに動かす変数です。今回の場合は\(k=1\)から始めて、\(k=2,3,\dots\)と1ずつ増やしていって、\(k=5\)まで足し合わせることを意味しています。
有限個の数の列\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)は、数列またはベクトルと呼ばれます。
\(n\)個の数の列\(x_1,x_2,\dots,x_n\)の和は、
\[ \begin{aligned}\sum _{k=1} ^n x_k =x_1 +x_2+\cdots +x_n\end{aligned} \]
と表すことができます。\(\cdots\)を使って省略するような足し算は、\(\sum\)記号を使えば曖昧さなしに表現することができますね。
足し合わせるときに使う変数や文字の種類が違っても、同様に和を考えることができます。例えば、\(a_1,a_2,a_3\)の和は
\[ \begin{aligned}\sum _{i=1} a_i = a_1 +a_2+a_3\end{aligned} \]
と表せます。
\(x_1 =1\)、\(x_2 =3\)、\(x_3 =5\)、\(x_4 =7\)、\(x_5=9\)のような規則性のある列は、\(x_k =2k-1\)と表すことができます。その和を\(x_k\)の文字を表に出さずに
\[ \begin{aligned}\sum _{k=1}^ 5 (2k-1)\end{aligned} \]
と表すこともあります。
\(f(k)=2k-1\)という関数と考えて（\(k\)は自然数）、
\[ \begin{aligned}\sum _{k=1}^ 5 f(k)\end{aligned} \]
と表しても同じことです。
エクセルのような表計算ソフトでは、総和はSUM関数として実装されています。
数式バー（fxバー）に「=SUM(A1:A5)」と入力した結果です。SUMが和を取るという計算で、(A1:A5)が和を取る範囲を表しています。
つまり、\(k=1,2,\dots,5\)として\(\mathrm{SUM}(A1:A5)= \sum_{k=1}^{5} Ak\)です。
平均
和の記法を使った概念としては、平均が有名でしょう。
\(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\)の平均は、
\[ \begin{aligned}\mathrm{avg}(x):= \frac{\sum _{k=1} ^n x_k}{n}\end{aligned} \]
と定義されます。データの和を取って、その総個数で割った量です。
\(x_1 =1\)、\(x_2 =3\)、\(x_3 =5\)、\(x_4 =7\)、\(x_5=9\)のときは、
\[ \begin{aligned}\mathrm{avg}(x) = \frac{25}{5}=5\end{aligned} \]
ですね。
分散も総和の記法を使って定義できて、
\[ \begin{aligned}\mathrm{var}(x) = \frac{\sum_{k=1} ^n (x_k – \mathrm{avg}(x))^2} {n}\end{aligned} \]
です。
上の具体値を使うならば、
\[ \begin{aligned} \mathrm{var}(x) &=\frac{(1-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2}{5}\\ &= \frac{16+4+0+4+16}{5} \\ &=8\end{aligned} \]
となります。
詳しくは：Pythonで統計量関数（平均、中央値、分散、相関係数）を作り、可視化しよう
和と定数倍の性質
総和の記号を使った計算では、和と定数倍について良い性質を持っています。
\(a=(a_1,a_2,\dots,a_n)\)、\(b= (b_1,b_2,\dots,b_n)\)という列は、\(n\)次元のベクトル、または\(n\)項の数列と呼びます。
ベクトルまたは数列に対して、
\[ \begin{aligned}\sum a := \sum_{k=1} ^n a_k\end{aligned} \]
と総和を考えることができます。
また、ベクトル・数列同士の和と定数倍を、
\[ \begin{aligned}a+b:=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots, a_n+b_n)\end{aligned} \]
\[ \begin{aligned}\lambda a:=(\lambda a_1, \lambda a_2,\dots,\lambda a_n)\end{aligned} \]
と定義しましょう。\(\lambda\)は1次元的な数で、スカラーと呼ばれます。
すると、
\[ \begin{aligned}\sum (a+b) =\sum a + \sum b\end{aligned} \]
\[ \begin{aligned}\sum (\lambda a)= \lambda \sum a\end{aligned} \]
という等式が成り立ちます。この性質を、総和の線形性と呼びます。
ベクトル・数列の和を取ってから総和を取るのと、それぞれの総和を取ってから和を取る結果は等しい。スカラー倍と和も交換できる、という性質です。
証明は簡単で、総和・和・スカラー倍の定義に従って計算するとわかります（確かめてみてください）。
総和の線形性を使って、\(x_k =2k-1\)、\(k=1,\dots,n\)の計算をしてみましょう。
\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n (2k-1)&=\sum_{k=1}^n(2k) +\sum_{k=1}^n(-1) \\ &=2 \sum_{k=1}^n k – \sum_{k=1}^n 1 \end{aligned} \]
といったように、複雑な総和を単純ないくつかの和に分解することができます。
高校数学の数列の分野では、こうした単純な和を公式として表すことを学ぶでしょう。
\[ \begin{aligned}\sum_{k=1}^n 1 =n \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned}\sum_{k=1}^n k =\frac{1}{2} n(n+1)\end{aligned} \]
これを使えば、
\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n (2k-1)&=2\cdot \frac{1}{2} n(n+1) – n \\ &=n^2 \end{aligned} \]
となります。最初に扱った具体例では、\(n=5\)で結果は\(25\)であり、きちんと計算できています。
この形になれば、\(n=100\)でもいくらでも大きな数でも、簡単に総和を求めることができて便利ですね。
ちなみに、積と和は普通は交換できないです。
\[ \begin{aligned}\sum_{k=1}^n (a_k b_k) = (\sum_{k=1}^n a_k)(\sum_{k=1}^n b_k)\end{aligned} \]
のような式は一般には成り立ちません。例えば、\(n=3\)、\(a_1=1,a_2=0,a_3=1\)、\(b_1=0,b_2=1,b_3=0\)とすればわかります。
\[ \begin{aligned}\sum_{k=1}^n (a_k b_k) = 0\end{aligned} \]
\[ \begin{aligned}(\sum_{k=1}^n a_k)(\sum_{k=1}^n b_k) =2 \cdot 2 =4\end{aligned} \]
となるので。積とΣを入れ替えないように注意しましょう。入れ替えて良いのは、和と定数倍だけです。
ちなみに、
\[ \begin{aligned}\langle a,b\rangle:=\sum_{k=1}^n (a_k b_k) \end{aligned} \]
をベクトル\(a,b\)の内積、
\[ \begin{aligned} \|a\| :=\sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}\end{aligned} \]
をベクトル\(a\)のノルム（大きさ）と呼びます。
参考：ユークリッド空間R^Nの内積、ノルム、距離について解説
総乗
Σ記号に似た性質を持った記号として、Π記号を使った総乗があります。
\[ \begin{aligned}\prod_{k=1}^n x_k = x_1 x_2 \cdots x_k\end{aligned} \]
というすべての番号に渡る積のことです。\(\prod\)は積（product）を表すギリシャ文字パイに対応しています。
\(x_k=2k-1\)、\(n=5\)のときならば、
\[ \begin{aligned}\prod_{k=1}^5 x_k = 1\cdot3\cdot5 \cdot7 \cdot9 =945\end{aligned} \]
です。総乗の記号を使えば、階乗\(n!\)を
\[ \begin{aligned}n! = \prod _{k=1}^ n k\end{aligned} \]
と表せますね。
以上、総和の記法（Σ記号）とはどういうものか、その計算例、性質を紹介してきました。
今回は有限個の数の和を考えましたが、無限個の和（有限和の極限）は無限級数と呼ばれるものです。無限和を扱う前段階としても、Σ記法を有限和の場合で扱っておくと良いでしょう。
Σ記号は、単にいくつかの数の足し算を省略するための記号です。見慣れないと困惑するかもしれませんが、非常に便利でいろいろな分野で使われるので、ぜひ扱えるようになっておきましょう。
木村すらいむ（@kimu3_slime）でした。ではでは。
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